Suite à divisibilité faible ou forte

En mathématiques, la notion de suite à divisibilité faible ou forte est une notion concernant une suite d'entiers $(a_{n})_{n\geqslant 1}$ reliant la divisibilité de ses termes à celle de ses indices.

La suite $(a_{n})$ est à divisibilité faible si pour tous entiers $n$ , $k$ > 0, $a_{kn}$ est un multiple de $a_{n}$ , ou, autrement dit :

{\text{si }}n\mid m\,{\text{ alors }}\,a_{n}\mid a_{m}

.

Le concept peut être généralisé à des suites à valeurs dans un anneau.

En notant $n\land m=\operatorname {pgcd} (n,m)$ , une telle suite vérifie donc pour tous $n$ , m :

$a_{n\land m}\mid a_{n}\land a_{m}$ .

Un exemple simple en est la suite $(a^{n}-b^{n})$ avec $a$ et $b$ entiers, car $a^{kn}-b^{kn}=(a^{n})^{k}-(b^{n})^{k}$ est divisible par $a^{n}-b^{n}$ d'après la formule de Bernoulli.

La suite $(a_{n})$ est à divisibilité forte si pour tous entiers $n$ , m > 0,

a_{n}\land a_{m}=|a_{n\land m}|

.

Dans le cas où l'application $n\mapsto a_{n}$ est à valeurs positives, cela signifie que cette application est un morphisme pour la loi pgcd.

Toute suite à divisibilité forte est à divisibilité faible^[1] car $n\mid m$ si et seulement si $\operatorname {pgcd} (n,m)=n$ .

En plus de l'exemple trivial des suites constantes, un exemple simple est donné par les suites du type $a_{n}=kn,$ car $kn\land km=k(n\land m)$ .

Propriété permettant de passer de la divisibilité faible à la forte

Cette section peut contenir un travail inédit ou des déclarations non vérifiées (janvier 2022). Vous pouvez aider en ajoutant des références ou en supprimant le contenu inédit.

Si vous ne connaissez pas le sujet, laissez ce bandeau (vous pouvez alors contacter les auteurs).
Si vous supprimez le contenu mis en cause (vous pouvez préalablement contacter les auteurs),

argumentez précisément cette suppression dans la page de discussion

(un manque de référence n'est pas un argument ; une recherche réelle de référence doit avoir été effectuée, être formellement documentée).

Théorème — Si la suite $(a_{n})$ est à divisibilité faible et vérifie $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n-m}$ pour $n>m$ , alors elle est à divisibilité forte.

Démonstration

D'après la divisibilité faible, $a_{n\land m}\mid a_{n}\land a_{m}$ .
D'après la propriété supposée, $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n-m}\land a_{m}$ pour $n>m$ donc par anthyphérèse, $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n\land m}$ .
Nous en concluons que $a_{n\land m}=a_{n}\land a_{m}$ .

Exemples

Toute suite de Lucas du premier type $U (P, Q)$ est à divisibilité faible, et à divisibilité forte si et seulement si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux^[2]. Une démonstration se trouve dans la page sur les suites de Lucas.

En particulier sont à divisibilité forte :

La suite de Fibonacci $(F_{n})=U(1,-1)$ .
La suite de Pell $(P_{n})=U(2,-1)$ .
La suite des nombres de Mersenne $(2^{n}-1)=U(2,1)$ .
Plus généralement la suite des répunit en base b $(R_{n}^{b})=U(b+1,b)$ .
Encore plus généralement la suite $\left({\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}\right)=U(a+b,ab)$ avec $a$ et $b$ entiers premiers entre eux.

Suite à divisibilité faible ou forte

Propriété permettant de passer de la divisibilité faible à la forte

Exemples

Notes et références

Voir aussi

Related Articles