Un nombre important de questions peuvent se poser sur la suite de Kolakoski et sur les facteurs (i.e. plages de lettres consécutives) de cette suite :
- le langage des facteurs est-il récurrent ? (autrement dit, est-ce que chaque facteur apparaissant à un endroit apparaît en fait une infinité de fois ?)
- le langage des facteurs est-il stable sous image miroir ? (est-ce qu'en inversant le sens de lecture des facteurs, le langage reste inchangé ?)
- le langage des facteurs est-il stable sous complétion ? (est-ce que si on prend tous les mots du langage et qu'on inverse les chiffres 1 et 2, le langage reste inchangé ?)
Des résultats liant les conjectures sur ces propriétés sont développés dans [5].
Il est raisonnable de penser que la densité asymptotique de chaque symbole est 1/2, mais cette conjecture reste non démontrée[6]. Václav Chvátal a montré que la densité supérieure des 1 est inférieure à 0,50084 en 1993[7] et le meilleur résultat dans cette direction est une borne de 0,50008[8].
Il est remarquable que pour l'unique suite infinie de symboles 1 et 3 débutant à 1 et qui est son propre codage par plages, qui a pour premiers termes : 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 3, 3,... , on sait calculer exactement la fréquence du chiffre 3 (égale environ à 0,6) qui est un nombre algébrique de degré 3, ce qui est une conséquence du fait que cette suite est obtenue à partir d'un mot morphique sur un alphabet à 3 lettres ; voir la suite A064353 de l'OEIS. Plus généralement, le cas de figure le plus simple à étudier correspond aux suites engendrées par deux chiffres de même parité.
La suite de Kolakoski a également été remarquée par des informaticiens. Ainsi, Stephen Wolfram la décrit en relation avec l'étude des systèmes de tague cycliques[9],[10].
Remplaçant les 1 par des 0, les 2 par des 1, on peut interpréter la suite comme le développement d'un réel en base 2 ; ce réel est parfois encore appelé constante de Kolakoski[11].
