Suite harmonique

Une suite harmonique est une suite réelle ${\displaystyle (u_{n})_{n\geqslant n_{0}}}$ telle qu'il existe un nombre ${\displaystyle \ r}$ appelé sa raison pour lequel :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {1}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+r\,}$

soit :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+1}={\frac {u_{n}}{ru_{n}+1}}\,}$

Il s'agit donc d'une suite homographique.

Par exemple pour ${\displaystyle u_{0}=12,r=1/12}$, la suite prend les valeurs 12, 6, 4, 3, 12/5, 2, 12/7,... , suite visualisée ci-contre.

En notant ${\displaystyle a={\frac {1}{u_{n_{0}}}}-n_{0}r}$, on obtient :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ \ u_{n}={\frac {1}{a+nr}}\,}$.

Dans l'exemple précédent, ${\displaystyle u_{n}={\frac {12}{n+1}}}$.

Autre exemple^[1] : la suite harmonique ${\displaystyle \left({\frac {T}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ est la suite des périodes associées aux harmoniques de la fréquence ${\displaystyle {\frac {1}{T}}}$.

La relation de la définition introductive s'écrit :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {2}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{u_{n+2}}}\,}$

ce qui donne :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+2}={\frac {u_{n}u_{n+1}}{2u_{n}-u_{n+1}}}\,}$

Par définition, quatre points alignés ${\displaystyle A,B,C,D}$, pris dans cet ordre, forment une division harmonique si les mesures algébrique ${\displaystyle {\overline {AC}},{\overline {AB}},{\overline {AD}}}$ sont en progression harmonique^[2],[3],[4]. Et alors, chaque triplet de mesures algébriques ${\displaystyle ({\overline {BC}},{\overline {BA}},{\overline {BD}});({\overline {CA}},{\overline {CD}},{\overline {CB}});({\overline {DA}},{\overline {DC}},{\overline {DB}})}$ forme une progression harmonique (on peut permuter ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, ainsi que ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$).

Dans un triangle, les hauteurs sont en progression arithmétique (resp. harmonique), si et seulement si les longueurs des côtés sont en progression harmonique (resp. arithmétique).

• Série harmonique