Système dynamique de Lorenz

Système dynamique différentiel de Lorenz

Ce système différentiel s'écrit : ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma \,[y(t)-x(t)]\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=x(t)\,y(t)-\beta \,z(t)\end{aligned}}\right.}$

Dans ces équations, σ (nombre de Prandtl), ρ (rapport du nombre de Rayleigh au nombre de Rayleigh critique) et β sont trois paramètres réels positifs.

${\displaystyle x(t)}$ est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection, ${\displaystyle y(t)}$ est proportionnel à la différence de température entre les courants ascendants et descendants, et ${\displaystyle z(t)}$ est proportionnel à l'écart du profil de température vertical par rapport à un profil linéaire (Lorenz 1963 p. 135).

Points fixes

Les points fixes du système sont les solutions constantes ${\displaystyle (x,y,z)}$ du système différentiel. Il en existe un quand ${\displaystyle \rho \leq 1}$ et trois quand ${\displaystyle \rho >1}$ :

• le point fixe (0,0,0), qui existe quelles que soient les valeurs des paramètres σ, ρ et β ;
• deux points fixes symétriques par rapport à l'axe ${\displaystyle \mathrm {O} z}$ : ${\displaystyle \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)}$ et : ${\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)}$, qui n'existent que lorsque ${\displaystyle \rho >1}$.

Attracteur étrange

Lorsque les paramètres σ, ρ et β prennent les valeurs ${\displaystyle \sigma =10}$, ${\displaystyle \rho =28}$ et ${\displaystyle \beta ={\tfrac {8}{3}}}$, le système dynamique différentiel de Lorenz présente un « attracteur étrange » en forme d'ailes de papillon, représenté sur la figure ci-contre.

Pour presque toutes les conditions initiales (différentes de celles des points fixes), l'orbite du système se promène sur l'attracteur, la trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de suite, de façon apparemment erratique.