Thorold Gosset

Selon H. S. M. Coxeter^[6], après l'obtention de son diplôme de droit en 1896 et ne plus avoir de clients, Thorold Gosset s'est amusé lui-même en tentant de classer les polytopes réguliers en plus de dimensions (plus de trois) de l'espace Euclidien. Après la redécouverte de tous, il a essayé de classer les semi-polytopes réguliers, qu'il définit comme polytopes à facettes régulières différentes, et qui sont vertex-uniformes (ou figure de sommet-uniformes), ainsi que l'analogue des nids d'abeilles, qu'il considérait comme des polytopes dégénérés. En 1897, il a présenté ses résultats à James W. Glaisher, alors rédacteur en chef de la revue Messenger of Mathematics. Glaisher a été favorablement impressionné et a transmis les résultats à William Burnside et Alfred Whitehead. Burnside, cependant, a déclaré dans une lettre à Glaisher en 1899 que l'auteur de la méthode d'une sorte d'intuition géométrique n'a pas fait appel à lui. Il a admis qu'il n'a jamais trouvé le temps de lire plus de la première moitié de l'article de Gosset. En fin de compte Glaisher n'a publié qu'un bref résumé de Gosset^[7].

Les résultats de Thorold Gosset sont largement passés inaperçus pendant de nombreuses années. Ses polytopes semi-réguliers (en) ont été redécouverts par Elte en 1912^[8] et plus tard par Coxeter, qui a donné à la fois crédits à Gosset et à Elte pour cette découverte.

Une propriété générale d'un polytope V_n est que sa figure de sommet est le polytope V_n-1 de dimension inférieure. Inversement, la figure de sommet V_n-1 permet de construire le polytope V_n de dimension supérieure. L'exemple le plus simple concrétisé par le logiciel Stella4D^[9] de Robert Webb, est donné par un prisme triangulaire pris comme figure de sommet en 3D, qui devient le premier polytope semi-régulier de Gosset appelé la figure semi-régulière Tetraoctahedric en dimension 4 (4_ic) qui est aussi un pentachore rectifié.

Coxeter a introduit le terme de « polytopes de Gosset » pour les cinq polytopes semi-réguliers dans 4, 5, 6, 7 et 8 dimensions découverts par Gosset, qu'il a appelés les polytopes 0₂₁, 1₂₁, 2₂₁, 3₂₁, et 4₂₁. Les sommets des principaux polytopes 2₂₁, 3₂₁, et 4₂₁ ont été plus tard revus et sont apparus comme les racines des groupes de Lie exceptionnels E₆, E₇ et E₈.

Une nouvelle définition plus précise de la série de Gosset des polytopes semi-réguliers a été donnée ensuite par John Horton Conway en 2008^[10]. La série des polytopes de Gosset a été complétée par deux pavages uniformes. Le premier, qui pave l'espace euclidien de dimension 8, a été aussi découvert par Gosset et nommé figure semi-régulière 9_ic ; Coxeter l'appela ensuite 5₂₁. Coxeter a ensuite découvert le dernier pavage, 6₂₁, qui pave l'espace hyperbolique de dimension 9.

Les trois principaux polytopes semi-réguliers de Gosset, 2₂₁, 3₂₁ et 4₂₁, ont été construits et présentés ensuite en projections 3D à partir du logiciel vZome de Stuart Vorthmann^[11] et à la suite de l'intérêt porté par le chercheur Pierre Etevenon aux polytopes de Gosset.

(en) Norman Johnson, The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

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