Théorie de Nevanlinna

Pour ${\displaystyle r>0}$ et ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$, on indique par ${\displaystyle n(r,a,f)}$ le nombre de solutions de ${\displaystyle f(z)=a}$, dans le disque fermé de centre 0 et de rayon ${\displaystyle r}$, comptées avec leur multiplicité. Si la fonction ${\displaystyle f}$ est entière, cette fonction de comptage croit à peu près comme ${\displaystyle \log M(r)}$, où ${\displaystyle M(r)=max_{|z|\leq r}\mid f(z)\mid }$, sauf peut-être pour une valeur de ${\displaystyle a}$. Cette valeur exceptionnelle est liée au théorème de Picard, établissant qu’une fonction entière non constante doit prendre toutes les valeurs, sauf peut-être une : en effet, si ${\displaystyle f(z)=a}$ n'a pas de solutions, ${\displaystyle n(r,a,f)=0}$ pour tout r et ne croit donc pas^[2].

Dans le cas d’une fonction méromorphe, on remplace la fonction de comptage par la fonction ${\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)}$ :

${\displaystyle N(r,a,f)=\int _{0}^{r}{\frac {n(t,a,f)-n(0,a,f)}{t}}{\text{d}}t+n(0,a,f)\log r.}$

Cette fonction ${\displaystyle N(r,a,f)}$ a l'avantage d'être une fonction continue ; elle est croissante (et convexe en ${\displaystyle \log r}$)^[3]. Elle quantifie le nombre moyen de points où la fonction ${\displaystyle f}$ prend la valeur ${\displaystyle a}$ dans le disque de centre 0 et de rayon ${\displaystyle r}$^[3].

On pose aussi ${\displaystyle \displaystyle N(r,f)=N(r,\infty ,f)}$ (relative aux pôles de la fonction dans le disque de centre 0 et de rayon ${\displaystyle r}$)^[4].

On introduit aussi une fonction^[4] dite osculatrice :

${\displaystyle m(r,f)=m(r,\infty ,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}|f(re^{i\theta })|d\theta ,}$ où ${\displaystyle \displaystyle \log ^{+}x=\max\{0,\log x\}}$.

La caractéristique de Nevanlinna ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)}$ est ensuite définie par^[5] :

${\displaystyle \displaystyle T(r,f)=N(r,f)+m(r,f).}$

Cette caractéristique tend vers l’infini quand ${\displaystyle \displaystyle r\to \infty }$ (si la fonction ${\displaystyle \displaystyle f}$ n’est pas constante).

On montre que si ${\displaystyle f}$ est une fonction entière, et ${\displaystyle \displaystyle 1<r<R}$, alors ${\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\leq {\dfrac {R+r}{R-r}}T(R,f).}$

Ceci justifie d’utiliser ${\displaystyle T(r,f)}$ à la place de ${\displaystyle \log M(r,f)}$ comme mesure de croissance de la fonction ${\displaystyle f}$ quand celle-ci n’est plus nécessairement entière, mais méromorphe.

L’ordre ${\displaystyle \displaystyle \rho (f)}$ d’une fonction méromorphe ${\displaystyle \displaystyle f}$ est défini par

${\displaystyle \rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log T(r,f)}{\log r}}.}$

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Pour tout nombre complexe ${\displaystyle a}$, on définit ${\displaystyle m(r,a,f)=m(r,{\frac {1}{f-a}})}$. Elle rend compte de la proximité à ${\displaystyle a}$ des valeurs de la fonction ${\displaystyle f}$ sur le cercle de centre 0 et rayon ${\displaystyle r}$^[3].

Le premier théorème fondamental affirme que pour tout ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),}$

où le terme borné ${\displaystyle O(1)}$ peut dépendre de ${\displaystyle f}$ et de ${\displaystyle a}$. Pour une fonction ${\displaystyle f}$ méromorphe non constante, ${\displaystyle T(f,r)}$ tend vers l'infini avec ${\displaystyle r}$, donc le premier théorème fondamental dit que la somme ${\displaystyle N(r,a,f)+m(r,a,f)}$ tend vers l'infini à un taux indépendant de ${\displaystyle a}$.

Ce premier théorème est une conséquence de la formule de Jensen.

Le deuxième théorème fondamental « affirme qu'une fonction méromorphe sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ne peut pas rester proche sur le cercle de rayon ${\displaystyle r}$ de ${\displaystyle q>2}$ valeurs distinctes de ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$ comparativement à la caractéristique de Nevanlinna ${\displaystyle T(r,f)}$ lorsque ${\displaystyle r}$ tend vers l'infini^[6] ».

Pour ce deuxième théorème^[7], on introduit :

${\displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right).}$

Cette quantité, qui compte les valeurs atteintes avec une multiplicité strictement plus grande que 1, est positive ou nulle.

Pour ${\displaystyle \displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{q}\in {\overline {\mathbb {C} }}}$, distincts, le deuxième théorème fondamental établit que :

${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f),}$

où ${\displaystyle S(r,f)}$ est un terme d'erreur, petit par rapport à la caractéristique ${\displaystyle T(r,f)}$. Plus précisément, il existe un ensemble ${\displaystyle E\subset [1,\infty )}$ de longueur finie, tel que

${\displaystyle \displaystyle S(r,f)=O(\log T(r,f))+O(\log r)}$ quand ${\displaystyle \displaystyle r}$ tend vers l'infini, ${\displaystyle r\notin E}$. De meilleures estimations du terme d'erreur existent, mais il a été démontré qu'il n'est pas possible d'éliminer complètement l'ensemble exceptionnel ${\displaystyle E}$.

Une autre forme du deuxième théorème est :

${\displaystyle (q-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{q}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f),}$

où ${\displaystyle {\overline {N}}}$ est identique à ${\displaystyle N}$, mais en ne comptant pas la multiplicité.

Le deuxième théorème donne une borne supérieure de la caractéristique en fonction de ${\displaystyle N(r,a)}$. En particulier, en prenant ${\displaystyle q=3}$ et ${\displaystyle a_{3}=\infty }$, le théorème montre qu'une fonction entière transcendante prend chaque valeur une infinité de fois, avec au plus deux exceptions, ce qui donne une des variantes du théorème de Picard.