Caractère (mathématiques)

Un caractère complexe d'un groupe G est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif ℂ* des complexes non nuls.

Il correspond à un cas particulier de représentation, celle complexe de degré 1.

Par exemple, un « caractère de Dirichlet modulo n » est un caractère du groupe fini (ℤ/nℤ)^×.

Le groupe dual de G est l'ensemble des caractères du groupe, muni de la multiplication des fonctions. Il est naturellement isomorphe au groupe dual de l'abélianisé de G.

Si le groupe G est topologique, alors un caractère est par définition continu, si G est un groupe de Lie, alors un caractère est différentiable.

La notion de caractère se généralise aux structures d'algèbres (i.e. un espace vectoriel muni d'une structure d'anneau).

Un caractère sur une K-algèbre A est un morphisme d'algèbres de A dans K.

Dans le cas où l'algèbre est l'algèbre d'un groupe, les deux notions sont équivalentes.

Un caractère d'une représentation est une notion associée aux représentations d'un groupe, elle correspond à la trace de l'image d'un élément du groupe par la représentation.

Pour tout corps commutatif K, les caractères d'un groupe G à valeurs dans K* sont K-linéairement indépendants^[1],[2]. Il en est de même, plus généralement, pour les caractères d'un monoïde G, c'est-à-dire les morphismes de monoïdes de G dans (K, ×)^[3].

Démonstration

Démontrons par récurrence que pour tout entier r > 0, r caractères distincts sont toujours indépendants. Pour r = 1 c'est immédiat car les caractères sont non nuls. Soit n > 1, supposons la propriété vraie pour r = n – 1 et montrons-la pour r = n. Soient donc χ₁, … , χ_n des caractères distincts et λ₁, … , λ_n des scalaires tels que ∑ λ_k χ_k = 0, donc tels que

${\displaystyle \forall g,h\in G,\quad \sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}(\chi _{k}(g)-\chi _{1}(g))\chi _{k}(h)=\left(\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\chi _{k}(gh)\right)-\chi _{1}(g)\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\chi _{k}(h)=0,}$

autrement dit :

${\displaystyle \forall g\in G,\quad \sum _{k=2}^{n}\lambda _{k}(\chi _{k}(g)-\chi _{1}(g))\chi _{k}=0.}$

Par hypothèse de récurrence et puisque les χ_k pour k > 1 sont distincts de χ₁, on en déduit que λ₂ = … = λ_n = 0. L'équation ∑ λ_k χ_k = 0 se réduit alors à λ₁ χ₁ = 0, si bien que λ₁ est nul aussi, ce qui conclut.

En particulier^[4] pour tous corps commutatifs k et K, les plongements de k dans K sont K-linéairement indépendants.