Théorème bipolaire

Pour tout ensemble non vide ${\displaystyle C\subset X}$ d'un espace vectoriel ${\displaystyle X}$, le cône bipolaire ${\displaystyle C^{\circ \circ }=(C^{\circ })^{\circ }}$ est donné par

${\displaystyle C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{\lambda c:\lambda \geq 0,c\in C\})}$

où ${\displaystyle \operatorname {co} }$ désigne l'enveloppe convexe^[2],[3]

${\displaystyle C\subset X}$ est un cône convexe non vide et fermé si et seulement si ${\displaystyle C^{++}=C^{\circ \circ }=C}$, où  ${\displaystyle C^{++}=(C^{+})^{+}}$, et ${\displaystyle (\cdot )^{+}}$ désigne le cône dual positif^[3],[4].

Plus généralement, si ${\displaystyle C}$ est un cône convexe non vide alors le cône bipolaire est donné par

${\displaystyle C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} C.}$

Si ${\displaystyle f(x)=\delta (x|C)={\begin{cases}0&{\text{si }}x\in C\\+\infty &{\text{sinon}}\end{cases}}}$ est la fonction indicatrice d'un cône ${\displaystyle C}$. Alors la fonction convexe conjuguée ${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\delta (x^{*}|C^{o})=\delta ^{*}(x^{*}|C)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle }$ est la fonction d'appui de ${\displaystyle C}$, et ${\displaystyle f^{**}(x)=\delta (x|C^{oo})}$. Donc ${\displaystyle C=C^{oo}}$ si et seulement si ${\displaystyle f=f^{**}}$^[2],[4].

Le théorème de Fenchel-Moreau peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire.

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