Théorème d'Egoroff

On considère pour n, k ≥ 1 les ensembles :

${\displaystyle E_{k,n}=\bigcap _{i\geq n}\left\{x\in E\mid |f_{i}(x)-f(x)|\leq 1/k\right\}.}$

Pour tout k ≥ 1, la suite (E_k,n) est croissante (pour l’inclusion), donc :

${\displaystyle \mu \left(\cup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu (E_{k,n})}$.

De plus, comme la suite de fonctions (f_n) converge simplement μ-p.p. vers f, on a, pour tout k ≥ 1 :

${\displaystyle \mu \left(\cup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\mu (E).}$

On fixe alors ε > 0. Grâce à la condition μ(E) < +∞, on peut trouver pour chaque k ≥ 1 un entier n_k positif tel que

${\displaystyle \mu (E_{k,n_{k}})\geq \mu (E)-2^{-k}\varepsilon .}$

Alors, l’ensemble

${\displaystyle A=\bigcup _{k\geq 1}(E\setminus E_{k,n_{k}})}$

convient.

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Soit E un espace métrique, séparable et localement compact, sur lequel on a une mesure μ σ-finie. Soit (f_n) une suite de fonctions mesurables de E dans ℝ convergeant μ-p.p. vers une fonction f mesurable.

Alors, pour tout ε > 0 et pour tout compact K de E, il existe un compact K' inclus dans K tel que μ(K\K') < ε et tel que f_n converge uniformément vers f sur K'.

(en) Michael E. Taylor (de), Measure Theory and Integration, AMS, p. 34-39

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