Théorème d'approximation de Dirichlet

Le théorème d'approximation de Dirichlet est le résultat d'approximation diophantienne simultanée de ${\displaystyle k}$ réels ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ suivant :

Pour tout réel N ≥ 1, il existe un entier q tel que

${\displaystyle 1\leq q\leq N\quad {\text{et}}\quad d(qx_{j},\mathbb {Z} )<N^{-1/k}\quad (\forall j=1,2,\dots ,k)}$,

dont le cas particulier N = Q^k avec Q entier^[1] se démontre par le principe des tiroirs de Dirichlet^[2], ou le résultat suivant^[3],[4] (plus général^[5]) :

Pour tout réel M > 1, il existe un entier q tel que

${\displaystyle 1\leq q<M\quad {\text{et}}\quad d(qx_{j},\mathbb {Z} )\leq M^{-1/k}\quad (\forall j=1,2,\dots ,k)}$,

qui utilise un théorème de Minkowski ou de Blichfeldt.