Théorème de Cameron-Martin

Soit ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})}$ un espace de Hilbert continûment et injectivement plongé dans un espace localement convexe ${\displaystyle E}$, via une application ${\displaystyle t:H\hookrightarrow E}$. Par le théorème de Fréchet–Riesz, on identifie ${\displaystyle H\simeq H'}$ via l’isomorphisme de Riesz ${\displaystyle i:H\to H'}$. Pour ${\displaystyle f\in E'}$, on définit la restriction ${\displaystyle f_{\mid _{H}}:H\to \mathbb {R} }$. Comme ${\displaystyle f_{\mid _{H}}\in H'}$, on peut définir l’application adjointe ${\displaystyle t^{*}:E'\to H}$ par ${\displaystyle t^{*}(f):=i^{-1}(f_{\mid _{H}})}$, qui est également continue. La composition ${\displaystyle R:=tt^{*}}$ est une application ${\displaystyle R:E'\to E}$, appelée opérateur reproduisant, car elle satisfait la propriété

${\displaystyle \langle Rg,f\rangle =\langle t^{*}g,t^{*}f\rangle _{H}}$.

L’opérateur ${\displaystyle R}$ est symétrique et positif, et il induit un noyau reproduisant sur ${\displaystyle E'\times E'}$ définie par ${\displaystyle R(g,f):=\langle Rg,f\rangle }$. L’opérateur de covariance ${\displaystyle R_{\gamma }:E'\to (E')^{*}}$ associé au mesure gaussienne ${\displaystyle \gamma }$ est défini par

${\displaystyle R_{\gamma }(f)(g)=\langle f-\mathbb {E} _{\gamma }[f],g-\mathbb {E} _{\gamma }[g]\rangle _{L^{2}(\gamma )}.}$

Pour ${\displaystyle h\in E}$, on définit

${\displaystyle \|h\|_{H_{\gamma }}:=\sup\{f(h)\colon f\in E'\;R_{\gamma }(f)(f)\leq 1\}.}$

L’espace de Cameron-Martin est ${\displaystyle H_{\gamma }=\{h\in E\colon \|h\|_{H_{\gamma }}<\infty \}}$. On définit

${\displaystyle E_{a}^{\gamma }={\overline {\{f-E_{\gamma }[f]:f\in E'\}}}^{L^{2}(\gamma )}={\overline {E'/\ker R_{\gamma }}}^{L^{2}(\gamma )}}$

et où ce quotient est canoniquement identifié à l’adhérence dans ${\displaystyle L^{2}(\gamma )}$ des variables centrées. On prolonge l’opérateur de covariance en ${\displaystyle {\overline {R_{\gamma }}}:E_{a}^{\gamma }\to (E')^{*}}$ défini par

${\displaystyle {\overline {R_{\gamma }}}(f)(g)=\langle f,\;g-\mathbb {E} _{\gamma }[g]\rangle _{L^{2}(\gamma )}}$.

Alors ${\displaystyle h\in H_{\gamma }}$ si et seulement s’il existe ${\displaystyle g\in E_{a}^{\gamma }}$ tel que ${\displaystyle h={\overline {R_{\gamma }}}(g)}$, et dans ce cas ${\displaystyle \|h\|_{H_{\gamma }}=\|g\|_{L^{2}(\gamma )}}$^[1].

Le théorème de Cameron-Martin s’énonce comme suit :

Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel localement convexe, ${\displaystyle \gamma }$ une mesure gaussienne sur ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle H_{\gamma }}$ son espace de Cameron-Martin. S’il existe ${\displaystyle g\in E_{a}^{\gamma }}$ tel que ${\displaystyle h={\overline {R_{\gamma }}}(g)}$, alors ${\displaystyle h\in H_{\gamma }}$. Dans ce cas, on a ${\displaystyle \|h\|_{H_{\gamma }}=\|g\|_{L^{2}(\gamma )}}$, ${\displaystyle \gamma _{h}(\cdot ):=\gamma (\cdot -h)}$, ${\displaystyle \gamma _{h}\sim \gamma }$ et la dérivée de Radon-Nikodým est donnée par

${\displaystyle {\frac {d\gamma _{h}}{d\gamma }}=\exp \left(g(x)-{\frac {1}{2}}\|h\|_{H_{\gamma }}^{2}\right).}$

Si ${\displaystyle h\notin H_{\gamma }}$, alors les mesures ${\displaystyle \gamma _{h}}$ et ${\displaystyle \gamma }$ sont singulières^[1],[2],[3].

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