Mesure gaussienne

En dimension 1

Une mesure de probabilité de Borel ${\displaystyle \gamma }$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est une mesure gaussienne si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :

• c'est la mesure de Dirac ${\displaystyle \gamma$ :=\delta _{p}} en un point ${\displaystyle p}$
• elle a la forme suivante

${\displaystyle \gamma (B)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{B}\exp \left(-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\mathrm {d} x,\qquad B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$

par rapport à la mesure de Lebesgue.

Le second cas est dit non dégénéré^[1].

En dimension d

Une mesure de probabilité de Borel sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ est une mesure gaussienne si pour toute fonctionnelle linéaire ${\displaystyle f\in (\mathbb {R} ^{d})^{*}}$, la mesure ${\displaystyle \gamma \circ f^{-1}}$ est une mesure gaussienne sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[2].

Mesure de Radon gaussienne

Soit ${\displaystyle X}$ un espace localement convexe muni de la σ-algèbre borélienne ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$, et ${\displaystyle \gamma }$ une mesure de Radon sur celui-ci. Alors ${\displaystyle \gamma }$ est une mesure de Radon gaussienne si la restriction de ${\displaystyle \gamma }$ à la σ-algèbre cylindrique ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ est une mesure gaussienne.

Toute mesure gaussienne n’est pas nécessairement une mesure de Radon. Soit ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ l’espace des suites bornées et ${\displaystyle {\ell ^{\infty }}'}$ son dual topologique. David Fremlin et Michel Talagrand ont construit une mesure gaussienne sur la σ-algèbre cylindrique ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\ell ^{\infty },{\ell ^{\infty }}')}$ qui attribue la mesure ${\displaystyle 0}$ aux boules fermées de rayon ${\displaystyle 1}$, et qui n’est donc pas de Radon^[4].

Espace de Cameron–Martin

Pour toute mesure gaussienne ${\displaystyle \gamma }$ sur un espace vectoriel localement convexe ${\displaystyle X}$, il existe un espace de Cameron–Martin ${\displaystyle H_{\gamma }}$, un espace de Hilbert particulier formé des directions dans ${\displaystyle X}$ le long desquelles ${\displaystyle \gamma }$ peut être translatée pour obtenir une nouvelle mesure gaussienne.

Pour ${\displaystyle x\in X}$ et ${\displaystyle f\in X'}$, on considère l’application

${\displaystyle j:X'\to L^{2}(X,\gamma ),\quad j(f)(x):=\langle f,x\rangle }$

qui envoie chaque ${\displaystyle f\in X'}$ sur une variable aléatoire quadratiquement intégrable. Soit ${\displaystyle E_{a}^{\gamma }\subset L^{2}(X,\gamma )}$ l’espace constitué de toutes les variables gaussiennes linéaires centrées et de leur fermeture dans ${\displaystyle L^{2}}$, c’est-à-dire :

${\displaystyle E_{a}^{\gamma }={\overline {\{f-E[f]:f\in X'\}}}_{L^{2}(\gamma )}.}$

${\displaystyle E_{a}^{\gamma }}$ est appelé espace gaussien ou le premier chaos de Wiener (décomposition du chaos de Wiener).

L’application transposée algébrique ${\displaystyle S:=j^{t}}$ est l’opérateur ${\displaystyle S:L^{2}(X,\gamma )\to (X')^{*}}$ défini par

${\displaystyle (Sg)(f)=\langle f,Sg\rangle$ :=\int _{X}g(x)\langle f,x\rangle ,\gamma (dx)}

pour ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\gamma )}$ et ${\displaystyle f\in X'}$. La composition ${\displaystyle R:=j^{t}j}$ est le opérateur de covariance et un opérateur reproduisant. L’espace de Cameron–Martin est défini comme l’image de ${\displaystyle S}$ restreinte à ${\displaystyle E_{a}^{\gamma }}$ :

${\displaystyle H_{\gamma }:=S(E_{a}^{\gamma })\subset X,}$

on peut aussi définir cet espace en utilisant directement l’opérateur de covariance.

Une structure d’espace de Hilbert est obtenue via le produit scalaire ${\displaystyle L^{2}(\gamma )}$ :

${\displaystyle \langle S(f),S(g)\rangle _{H_{\gamma }}:=\langle f,g\rangle _{L^{2}(X,\gamma )}=\int _{X}f(x)g(x)\gamma (dx),\qquad f,g\in E_{a}^{\gamma }}$

et la norme sur ${\displaystyle H_{\gamma }}$ est alors :

${\displaystyle \|S(f)\|_{H\gamma }:=\|f\|_{L^{2}(X,\gamma )},\quad f\in E_{a}^{\gamma }.}$

Un espace de probabilité ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ associé à un espace gaussien est appelé, en Calcul de Malliavin, un espace de probabilité gaussien.

Mesures gaussiennes sur des espaces linéaires généraux

Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel, ${\displaystyle F}$ un espace de fonctions linéaires qui séparent les points de ${\displaystyle E}$, et ${\displaystyle {\mathcal {E}}(E,F)}$ la σ-algèbre cylindrique. Alors ${\displaystyle \gamma }$ est une mesure gaussienne si, pour tout ${\displaystyle f\in F}$, l’application ${\displaystyle \gamma \circ f^{-1}}$ est une mesure gaussienne sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$. On peut montrer que cette définition est équivalente à celle donnée sur les espaces localement convexes^[5].