Théorème de Donsker

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Soient ${\displaystyle (U_{n},n\geq 1)}$ une suite iid de variables aléatoires centrées, de carré intégrable et de variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

On interpole la marche aléatoire ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}U_{k}}$ de manière affine par morceaux en considérant le processus ${\displaystyle (X_{n}(t),t\geq 0)}$ défini par

${\displaystyle X_{n}(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)}$ pour ${\displaystyle t>0}$ et où [x] désigne la partie entière de x.

Considérons l'espace ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])}$ des fonctions à valeurs réelles et continues sur [0,1]. On munit ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])}$ de la tribu borélienne ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ et de la norme infini ${\displaystyle ||.||_{\infty }}$ . Ainsi, ${\displaystyle X_{n}}$ est une variable aléatoire à valeurs dans ${\displaystyle ({\mathcal {C}}([0,1]),{\mathcal {B}})}$ .

La suite ${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$ converge en loi vers un mouvement brownien standard ${\displaystyle B=(B_{t},t\geq 0)}$ quand n tend vers l'infini.

Ici B est vu comme un élément aléatoire de ${\displaystyle ({\mathcal {C}}([0,1]),{\mathcal {B}})}$.

Notons ${\displaystyle X_{n}(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+\psi _{n,t}}$

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on montre que ${\displaystyle \psi _{n,t}}$ converge en probabilité vers 0.

Ainsi par le théorème central limite, ${\displaystyle X_{n}(t){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}{\sqrt {t}}N}$ (converge en loi) où N est une variable aléatoire de loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$.

De manière similaire, on obtient successivement

${\displaystyle (X_{n}(s),X_{n}(t)-X_{n}(s)){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}(B_{s},B_{t-s})}$

${\displaystyle (X_{n}(s),X_{n}(t)){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}(B_{s},B_{s}+B_{t-s})}$

${\displaystyle (X_{n}(t_{1}),X_{n}(t_{2}),...,X_{n}(t_{k})){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}(B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{k}})}$

où B est un mouvement brownien standard.

Reste à montrer que la suite ${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$ est tendue. Pour cela, on montre que

${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\underset {n\rightarrow \infty }{\lim \sup }}\,\lambda ^{2}\max _{k\leq n}\mathbb {P} \left(\sum _{i=1}^{k}U_{i}\geq \lambda \sigma {\sqrt {n}}\right)=0}$

On démontre d'abord cette convergence pour le cas où les variables ${\displaystyle U_{i}}$ sont normales. Pour généraliser à une loi quelconque, on utilise le théorème central limite et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour affiner les majorations^[1].