Théorème de Froda

Soit ${\displaystyle f:I\longmapsto \mathbb {R} }$ une fonction réelle sur un intervalle, dont on note ${\displaystyle D}$ l'ensemble des points de discontinuité de première espèce. Si ${\displaystyle x\in D}$, alors on définit l'oscillation de f en ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle \omega (x)=|f(x^{+})-f(x^{-})|}$ , qui est bien définie puisque les limites de f à gauches et à droites en ${\displaystyle x}$ existent.

Pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$, notons ${\displaystyle D_{n}=\left\{x\in D,\quad \omega (x)>{\frac {1}{n}}\right\}}$. Considérons alors un entier naturel ${\displaystyle n}$ non nul, et montrons que ${\displaystyle D_{n}}$ est discret.

• Soit ${\displaystyle x\in D_{n}}$. Par hypothèse, f admet une limite à droite en ${\displaystyle x}$. Ainsi, au voisinage de ${\displaystyle x}$ à droite, f prend ses valeurs dans ${\displaystyle \left[f(x^{+})-{\frac {1}{2n}},\quad f(x^{+})+{\frac {1}{2n}}\right]}$. En particulier, tout point de discontinuité de première espèce au voisinage de ${\displaystyle x}$ à droite a son oscillation majorée par ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ; ceci montre que ${\displaystyle D_{n}}$ ne rencontre pas un voisinage à droite de ${\displaystyle x}$.
• En effectuant le même raisonnement sur la gauche de ${\displaystyle x}$, on conclut que ${\displaystyle x}$ est un point isolé de ${\displaystyle D_{n}}$. Ce dernier est donc un sous-ensemble discret de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, donc dénombrable.

Finalement, ${\displaystyle D=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} ^{*}}D_{n}}$ est une union dénombrable d'ensembles au plus dénombrable ; donc ${\displaystyle D}$ est au plus dénombrable.

Cette preuve montre que l'énoncé reste vrai pour une fonction à valeurs dans n'importe quel espace métrique^[5].

La version antérieure des Young^[6],[7],[8] est nettement plus forte que celle de Froda :

Sauf pour un ensemble au plus dénombrable de réels x, l'ensemble des valeurs d'adhérence à gauche de f au point x est égal à celui à droite et f(x) leur appartient.

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