Théorème de Hardy-Ramanujan

Une version plus précise indique que, pour toute fonction à valeurs réelles ${\textstyle \psi (n)}$ qui tend vers l'infini quand n → ${\displaystyle \infty }$, on a : $${\displaystyle |\omega (n)-\ln(\ln \,n)|<\psi (n){\sqrt {\ln(\ln \,n)}}}$$

Cette relation n'est pas valable que pour une proportion infinitésimale de nombres réels. Si ${\displaystyle g(x)}$ désigne le nombre d'entiers naturels ${\displaystyle n}$ inférieurs à ${\displaystyle x}$ pour lesquels l'inégalité ci-dessus n'est pas valide : alors ${\displaystyle g(x)/x}$ converge vers zéro lorsque ${\displaystyle x}$ tend vers l'infini.

Une autre preuve a été donnée par Pál Turán en 1934. La mathématicien a utilisé le crible de Turán afin de prouver la majoration :

$${\displaystyle \sum _{n\leq x}|\omega (n)-\ln(\ln \,n)|^{2}\ll x\ln(\ln \,x).}$$

G. H. Hardy et S. Ramanujan ont aussi montré l'équivalence suivante^[2]:

$${\displaystyle {\frac {\omega (1)+\omega (2)+\,...+\,\omega (n)}{n}}\sim \ln(\ln \,n)\qquad (n\rightarrow +\infty ).}$$

On dit alors que ${\textstyle \ln(\ln \,n)}$ est un ordre moyen de ${\textstyle \omega (n)}$.