Théorème d'Hermite-Lindemann

Si b est un nombre algébrique non nul différent de 1, toutes les déterminations de son logarithme complexe sont transcendantes.

En particulier, si b > 0 et b ≠ 1 est algébrique (par exemple un entier ≥ 2) , alors ln b est transcendant.

En particulier, e = e¹ est transcendant (résultat montré par Charles Hermite en 1873^[2] : c’est le théorème d’Hermite).

De même, iπ, donc π, sont transcendants puisque e^iπ = –1 est algébrique.

L'approche originelle d'Hermite pour e a été simplifiée et étendue à π par David Hilbert (en 1893)^[3],[4], pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan. Pour adapter à π la stratégie pour e, des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle crucial.

Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de la transcendance de e et π, voir les références et les annexes.

On déduit du théorème d'Hermite-Lindemann la transcendance de tout nombre complexe non nul ${\displaystyle t}$ dont le sinus ou le cosinus est algébrique. En effet, compte tenu de la formule d'Euler ${\displaystyle \cos t+\mathrm {i} \sin t=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}}$, donnant ${\displaystyle \cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1}$, dès que ${\displaystyle \cos t}$ ou ${\displaystyle \sin t}$ est algébrique, e^it est algébrique, si bien que par contraposée du théorème, le nombre it est transcendant donc t aussi.

On en déduit par exemple que le nombre de Dottie, solution de ${\displaystyle \cos t=t}$ est transcendant.

Pierre-Laurent Wantzel avait montré en 1837 que le problème de l'impossibilité de la quadrature du cercle pouvait être déduit de l'hypothétique transcendance du nombre π (voir théorème de Wantzel pour plus de détails). En prouvant que π n’est pas algébrique, Lindemann parvient donc à montrer qu’il est impossible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné, résolvant ainsi par la négative l’un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l’Antiquité.