Théorème de Schur-Horn

En mathématiques, le théorème de Schur-Horn est un théorème d'algèbre linéaire caractérisant l'ensemble des diagonales possibles, pour une matrice hermitienne de valeurs propres prescrites.

Étant donnés $2 N$ réels

d_{1}\geq d_{2}\geq \ldots \geq d_{N}\quad {\rm {et}}\quad \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{N},

s'il existe une matrice hermitienne d'éléments diagonaux les $d i$ et de valeurs propres les $λ i$ , alors (théorème de Schur^[1]^,^[2])

\sum _{i=1}^{N}d_{i}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\quad {\rm {et}}\quad \forall n<N\quad \sum _{i=1}^{n}d_{i}\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.

Réciproquement, si ces conditions sont vérifiées alors (théorème de Horn^[3]^,^[4]) il existe une matrice hermitienne, et même une matrice réelle symétrique, d'éléments diagonaux les $d i$ et de valeurs propres les $λ i$ .

Reformulation

Article détaillé : Majorisation.

Pour deux vecteurs de ℝ^N,

d=(d_{1},d_{2},\ldots ,d_{N})\quad {\rm {et}}\quad \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{N}),

il existe une matrice hermitienne (et même alors une matrice réelle symétrique) d'éléments diagonaux les $d i$ et de valeurs propres les $λ i$ si et seulement si

\lambda \succ d

(lire : «

λ

majorise

d

»),

c'est-à-dire — par définition — si, lorsqu'on réordonne de façon décroissante les composantes de ces deux vecteurs, l'égalité et les $N - 1$ inégalités ci-dessus sont vérifiées.

Or il existe des caractérisations équivalentes de la majorisation :

$λ$ majorise $d$ si et seulement s'il existe une matrice bistochastique $S$ telle que $d = Sλ$ .
$λ$ majorise $d$ si et seulement s'il existe une suite finie de vecteurs dont le premier est $λ$ , le dernier est $d$ et le successeur de chaque vecteur $x$ est une combinaison convexe de $x$ et de l'un de ses transposés.

Démonstration

Notons $Λ$ la matrice diagonale des $λ i$ .

⇒ : Soit $A=(a_{i,j})$ une matrice hermitienne $N \times N$ , de valeurs propres les $λ i$ et de diagonale les $d i$ . Puisque $A$ est normale, il existe une matrice unitaire $U$ telle que $A = UΛU *$ donc $\forall i=1,\ldots ,N\quad d_{i}=a_{i,i}=\sum _{j=1}^{N}|u_{i,j}|^{2}\lambda _{j},$ autrement dit, en notant $s i,j = | u i,j | 2$ et $S=(s_{i,j})$ : $d=S\lambda .$

Comme $U$ est unitaire, $S$ est bistochastique, ce qui prouve que $λ$ majorise $d$ .

⇐ : Réciproquement, supposons que $λ$ majorise $d$ . On peut alors passer de $λ$ à $d$ par une suite finie de vecteurs dont chacun est obtenu à partir du précédent en ne modifiant que deux composantes $u \leq v$ , augmentant $u$ d'au plus $v - u$ et diminuant $v$ d'autant. Construisons par récurrence, pour chaque vecteur $x$ de cette suite (en particulier pour le dernier, ce prouvera l'implication), une matrice réelle symétrique de valeurs propres les $λ i$ et de diagonale $x$ . Pour le premier vecteur, $λ$ , la matrice $Λ$ convient. Supposons construite une matrice $A=(a_{i,j})$ pour le vecteur $x$ et construisons une matrice $B$ pour son successeur $y$ , qui ne diffère de $x$ que par deux coordonnées, par exemple, pour simplifier les notations : $y 1 = x 1 - δ$ et $y 2 = x 2 + δ$ avec $δ$ compris entre $0$ et $x 1 - x 2$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un angle $θ$ entre $0$ et $π/2$ tel que

\delta =(x_{1}-x_{2})\sin ^{2}\theta +a_{1,2}\sin(2\theta ).

Soient $R θ$ la matrice de rotation plane d'angle $θ$ et $I N -2$ la matrice identité de taille $N - 2$ . La matrice diagonale par blocs $P:={\begin{pmatrix}R_{\theta }&0\\0&I_{N-2}\end{pmatrix}}$ est orthogonale, et un calcul immédiat montre que $B = PA P T$ convient.

Théorème de Schur-Horn

Reformulation

Démonstration

Notes et références

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