Théorème de Schur-Zassenhaus

Puisque H est supposé distingué dans G, le théorème revient à dire que, sous les hypothèses en question, G est produit semi-direct interne de H par un sous-groupe de G. Ce théorème, démontré par Schur^[1] dans le cas particulier où H est cyclique^[2], fut généralisé à un sous-groupe de Hall distingué quelconque par Zassenhaus en 1937^[3],[4].

On prouve par des moyens relativement élémentaires que si les hypothèses du théorème général sont satisfaites et qu'un au moins des deux groupes H et G/H est résoluble, tous les compléments de H dans G sont conjugués dans G^[5]. En fait, puisque H est un sous-groupe de Hall de G, les ordres de G et de G/H sont premiers entre eux, donc un au moins de ces ordres est impair, donc, d'après le théorème de Feit-Thompson (qui ne se démontre qu'à un stade beaucoup plus avancé de la théorie), un au moins des deux groupes H et G/H est résoluble. On peut donc éliminer l'hypothèse supplémentaire et énoncer le théorème suivant : si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall distingué de G, tous les compléments de H dans G sont conjugués dans G.

Le théorème de Schur-Zassenhaus sert par exemple à démontrer^[6] ce théorème de Philip Hall : si G est un groupe résoluble fini, si d est un diviseur de l'ordre |G| de G tel que d et |G|/d soient premiers entre eux, si A est un sous-groupe de G dont l'ordre divise d, alors il existe un sous-groupe d'ordre d de G qui contient A.

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