Théorème de Skorokhod

Si ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ sont des variables aléatoires réelles i.i.d. centrées réduites et que l'on note ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ la somme partielle de ces variables alors il existe un espace de probabilité, un mouvement brownien ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ et une suite ${\displaystyle (\tau _{i})_{i\in \mathbb {N} ^{*}}}$ de variables i.i.d. positives définies sur cet espace vérifiant^[1]

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},B_{\tau _{1}+\dots +\tau _{n}}{\overset {\mathcal {L}}{=}}S_{n}}$ ;
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\tau _{1}+\dots +\tau _{n}}$ est un temps d'arrêt ;
• ${\displaystyle \mathbb {E} [\tau _{1}]=1}$.

De plus, si ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{1}^{2n}]<+\infty }$ alors ${\displaystyle \mathbb {E} [\tau _{1}^{n}]<+\infty }$.

Ce théorème permet de démontrer le théorème de Donsker.

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