Théorème de Tijdeman

En théorie des nombres, le théorème de Tijdeman affirme qu'il y a au plus un nombre fini de puissances consécutives. Autrement dit, l'ensemble des solutions entières x, y, n, m de l'équation diophantienne exponentielle

y^{m}=x^{n}+1

,

pour des exposants n et m strictement supérieurs à 1, est fini^[1]^,^[2].

Le théorème a été prouvé par le théoricien des nombres néerlandais Robert Tijdeman en 1976^[3], en utilisant le théorème de Baker en théorie des nombres transcendants pour donner un majorant effectif de x, y, m, n. Michel Langevin a calculé une valeur de exp exp exp exp 730 comme majorant pour $y m$ ^[4]^,^[5].

Le théorème de Tijdeman a fourni une forte impulsion pour la preuve de la conjecture de Catalan, finalement fournie en 2002 par Preda Mihăilescu^[6]^,^[7]. Le théorème de Mihăilescu établit que l'ensemble dont Tijdeman avait prouvé la finitude n'est qu'un singleton, la seule solution étant 3² = 2³ + 1.

Problème de Tijdeman généralisé

Que les puissances soient consécutives est essentiel dans la preuve de Tijdeman ; si l'on remplace la différence de 1 par k, et qu'on demande le nombre de solutions de

y^{m}=x^{n}+k

avec n et m strictement supérieurs à 1, on obtient un problème non résolu^[8], appelé le problème de Tijdeman généralisé. Il est conjecturé que pour tout entier k > 0, cet ensemble est également fini. Cela découlerait d'une conjecture encore plus forte, celle de Pillai (1931), prévoyant que pour k, A et B > 0 fixés, l'équation $Ay^{m}=Bx^{n}+k$ n'a qu'un nombre fini de solutions. Une conjecture encore plus forte que celle de Pillai est la conjecture abc^[9].

Théorème de Tijdeman

Problème de Tijdeman généralisé

Références

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