Théorème de Toda

Le théorème relie deux classes de complexité, à savoir les classes PP et PH. Il dit que la hiérarchie polynomiale PH est contenue dans P^PP qui, par ailleurs, est égale à P^#P.

#P est la classe des fonctions f à valeurs entières pour lesquelles il existe une machine de Turing non déterministe M fonctionnant en temps polynomial telle que pour tout x, f(x) soit le nombre d'exécutions acceptantes pour M sur l'entrée x^[2],[3]. C'est donc la classe des fonctions qui comptent le nombre de solutions d'un problème vérifiable en temps polynomial.

PP est la classe des problèmes de décision décidés par une machine de Turing non déterministe en temps polynomial, dont la majorité (plus de la moitié) des exécutions sont acceptantes.

P^#P est la classe des problèmes de décision décidé en temps polynomial sur une machine disposant d'un oracle de la classe #P.

PH est la classe définie comme l'union des classes de la hiérarchie polynomiale.

On démontre^[4] que P^PP=P^#P.

Le théorème de Toda est :

PH ⊆ P^#P

On ne peut pas comparer directement une classe de problèmes de décision (PH) à une classe de fonctions (#P). Dans l'énoncé, on utilise #P en oracle à la classe P. Cela signifie que la machine polynomiale peut écrire un mot u sur son ruban d'oracle et obtenir en temps constant la valeur f(u), où f est une fonction dans #P^[5].

Le théorème dit, en d'autres termes, que pour tout problème dans la hiérarchie polynomiale, il existe une réduction polynomiale à un problème de comptage^[6]. Une démonstration plus simple que la démonstration originale a été donnée par Fortnow, en 2009^[7].

Un résultat analogue dans la théorie de complexité des nombres réels, au sens des machines de Blum-Shub-Smale a été prouvé par Saugata Basu et Thierry Zell en 2009^[8], et un analogue complexe du théorème de Toda été prouvé par Saugata Basu en 2011^[9].