Théorème de doublement de dimension

Pour un mouvement brownien ${\displaystyle W(t)}$ et un ensemble ${\displaystyle A\subset [0,\infty )}$ on définit l'image de ${\displaystyle A}$ sous ${\displaystyle W}$, soit

${\displaystyle W(A):=\{W(t):t\in A\}\subset \mathbb {R} ^{d}.}$

Soit ${\displaystyle W(t)}$ un mouvement brownien de dimension ${\displaystyle d\geq 2}$. Soit ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} _{+}}$, alors^[2]

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A}$

${\displaystyle P}$-presque sûrement.

Soit ${\displaystyle W(t)}$ un mouvement brownien de dimension ${\displaystyle d\geq 2}$. Alors ${\displaystyle P}$-presque sûrement, pour tout ensemble ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} _{+}}$, que^[3]

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A.}$

La différence entre les deux théorèmes est la suivante : dans le théorème de McKean, le ${\displaystyle P}$-ensemble négligeable (l'ensemble sur lequel l'énoncé n'est pas vérifié) dépend du choix de l'ensemble ${\displaystyle A}$. Le résultat de Kaufman est valable pour tous les ensembles ${\displaystyle A}$ en même temps. Le résultat de Kaufman peut donc aussi être utilisé pour des ensembles aléatoires ${\displaystyle A}$.

• (en) Peter Mörters et Yuval Peres, Brownian Motion, Cambridge, Cambridge University Press, 2010
• (en) René L. Schilling et Lothar Partzsch, Brownian Motion, De Gruyter, 2014

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