Théorème de réciprocité (électrostatique)

Soit φ₁ et φ₂ les potentiels correspondant à un ensemble de n charges ponctuelles q_i⁽¹⁾ et q_i⁽²⁾, respectivement, occupant les mêmes positions dans l'espace. En notant ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ la permittivité du vide les potentiels s'écrivent :

${\displaystyle \phi _{1}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}^{(1)}}{r_{i}}}}$

où r_i est la distance entre la charge courante et le point où l'on mesure le potentiel.

De même (on change l'indice muet pour les manipulations qui suivent) :

${\displaystyle \phi _{2}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {q_{j}^{(2)}}{r_{j}}}}$

En multipliant la première équation par q_j⁽²⁾, la seconde par q_i⁽¹⁾ en sommant sur j et i, respectivement, il vient^[1] :

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\phi _{1}q_{j}^{(2)}=\sum _{i=1}^{n}\phi _{2}q_{i}^{(1)}}$

En faisant apparaître les charges totales :

${\displaystyle \phi _{2}Q_{1}=\phi _{1}Q_{2}\,,\quad Q_{\alpha }=\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{(\alpha )}}$

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Soit un volume V contenant une densité volumique de charges ρ₁, limité par la surface ${\displaystyle \partial V}$ et la même géométrie avec la densité de charges ρ₂ , alors :

${\displaystyle \int _{V}\rho _{1}\phi _{2}\mathrm {d} V=\int _{V}\rho _{2}\phi _{1}\mathrm {d} V}$

La démonstration peut être faite à partir des identités de Green^[2]. Pour cette raison on parle parfois de théorème de réciprocité de Green.

Une démonstration simple consiste à écrire que le potentiel s'obtient à partir de la loi de Poisson :

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi _{\alpha }=-{\frac {\rho _{\alpha }}{\varepsilon _{0}}}}$

L'expression de réciprocité s'écrit donc :

${\displaystyle \int _{V}\phi _{2}\nabla ^{2}\phi _{1}\mathrm {d} V=\int _{V}\phi _{1}\nabla ^{2}\phi _{2}\mathrm {d} V}$

Le laplacien étant un opérateur auto-adjoint, cette expression est identiquement vérifiée. La démonstration s'obtient en intégrant par parties et en remarquant que les potentiels tendant vers zéro à l'infini^[3].