Théorème des cinq points
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Cet article est une ébauche concernant la géométrie.
En géométrie, le théorème des cinq points est un énoncé sur les coniques du plan, démontré initialement par Blaise Pascal[1]. Il assure que par cinq points trois à trois non alignés passe une unique conique propre. Ce théorème admet des versions dégénérées, par exemple, avec quatre conditions d'incidence et une de tangence : il existe une unique conique propre passant par quatre points trois à trois non alignés, et tangente en l'un de ces points à une droite prescrite ne contenant aucun des trois autres points ; ou encore, avec trois conditions d'incidence et deux de tangence : il existe une unique conique propre passant par trois points non alignés prescrits, et tangente en chacun des deux premiers points à une droite prescrite qui ne contient qu'un seul des trois points.
Le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra permet de tracer la conique déterminée par cinq points non trois à trois alignés donnés ; le logo du logiciel est d'ailleurs une illustration de ce théorème.
Möbius a établi un théorème permettant de déterminer le type de conique selon la position relative des cinq points[2],[3]:
- On considère d'abord quatre points parmi les cinq, formant ainsi un quadrilatère convexe, par lesquels peuvent passer deux paraboles.
- Si le cinquième point est sur l'une des deux paraboles, alors la conique des cinq points est cette parabole ;
- Si le cinquième point se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur des deux paraboles, c'est une hyperbole ;
- Si le cinquième point se trouve à l'intérieur d'un des paraboles mais à l'extérieur de l'autre, c'est une ellipse.
