Théorème du bagel au pavot

Soit un paramètre s > 0 et un ensemble de N points ${\displaystyle \omega _{N}=\{x_{1},\ldots ,x_{N}\}\subset \mathbb {R} ^{p}}$ dans un espace de dimension p. On définit la s-énergie des points comme suit:$${\displaystyle E_{s}(\omega _{N})=\sum _{\stackrel {1\leq i,j\leq N}{i\not =j}}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|^{s}}}}$$Pour tout sous-ensemble compact ${\displaystyle A}$ de l'espace, on définit son énergie minimale à N points par.$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{s}(A,N)=\min _{\omega _{N}\subset A}E_{s}(\omega _{N})}$$où le minimum est pris sur tous les sous-ensembles de N points de A ; c'est-à-dire, ${\displaystyle \omega _{N}\subset A}$. Une répartition de N points sur la surface A minimisant E_s est appelée configuration de s-équilibre à N points

Supposons que l'ensemble ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{p}}$ soit compact et Lebesgue-mesurable de mesure ${\displaystyle \lambda (A)>0}$ et que ${\displaystyle s\geqslant p}$. Pour tout ${\displaystyle N\geqslant 2}$, étant donnée une configuration d'équilibre à N points ${\displaystyle \omega _{N}^{*}=\{x_{1,N},\ldots ,x_{N,N}\}}$, on définit la mesure μ_N$${\displaystyle \mu _{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{x_{i,N}},}$$où ${\displaystyle \delta _{x}}$ est une masse ponctuelle en ${\displaystyle x}$. Sous ces hypothèses,

$${\displaystyle \mu _{N}{\stackrel {*}{\rightarrow }}\mu ,}$$

c'est-à-dire que la mesure μ_N converge (au sens de la convergence faible des mesures) vers la mesure μ, où μ est la mesure de Lebesgue restreinte à A ; soit, ${\displaystyle \mu (B)=\lambda (A\cap B)/\lambda (A)}$.

De plus, on a$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}(A,N)}{N^{1+s/p}}}={\frac {C_{s,p}}{\lambda (A)^{s/p}}},}$$où ${\displaystyle C_{s,p}}$ est une constante indépendante de l'ensemble ${\displaystyle A}$ et donc,$${\displaystyle C_{s,p}=\lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}([0,1]^{p},N)}{N^{1+s/p}}},}$$où ${\displaystyle [0,1]^{p}}$ est le cube unité de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$.

Configuration quasi-minimale d'un ensemble de 1000 points sur un tore (${\displaystyle d=2}$)

${\displaystyle s=0.01<d}$

${\displaystyle s=1<d}$

${\displaystyle s=2=d}$

Soit A une variété différentielle de dimension d plongée dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ et σ une mesure géométrique sur cette variété. On suppose de plus que ${\displaystyle \sigma (A)>0}$ et ${\displaystyle s\geqslant d}$. Pour chaque ${\displaystyle N\geqslant 2}$ étant donnée une configuration minimale ${\displaystyle \omega _{N}^{*}=\{x_{1,N},\ldots ,x_{N,N}\}}$, on pose de même$${\displaystyle \mu _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{x_{i,N}}.}$$Alors, on a^[5],[6]$${\displaystyle \mu _{N}{\stackrel {*}{\rightarrow }}\mu ,}$$la mesure μ_N converge (au sens de la convergence faible des mesures) vers la mesure μ, où μ est la mesure géométrique normalisée ${\displaystyle \mu (B)=\sigma (A\cap B)/\sigma (A)}$. Si ${\displaystyle H^{d}}$ est la mesure de Hausdorff de dimension d normalisée de sorte que ${\displaystyle H^{d}([0,1]^{d})=1}$, alors^[5],[7]$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}(A,N)}{N^{1+s/d}}}=2^{s}\alpha _{d}^{-s/d}\cdot {\frac {C_{s,d}}{(H^{d}(A))^{s/d}}},}$$où ${\displaystyle \alpha _{d}=\pi ^{d/2}/\Gamma (1+d/2)}$ est le volume d'une d-boule.