Théorème du collage

Soit X un espace métrique complet. Soit ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$ l'ensemble des parties compactes non vides de ${\displaystyle X}$. On munit ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$ d'une structure d'espace métrique complet avec ${\displaystyle h}$, la distance de Hausdorff sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$^[3],[4]. Soit ${\displaystyle L\in {\mathcal {H}}(X)}$ l'ensemble à approcher, et soit ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Alors il existe une famille de contractions (IFS) ${\displaystyle \{w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}}$ sur ${\displaystyle X}$, avec rapport de contraction ${\displaystyle s}$, telle que :

${\displaystyle h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\leq \varepsilon }$.

Et l'on a

${\displaystyle h(L,A)\leq {\frac {\varepsilon }{1-s}},}$

où ${\displaystyle A}$ est l'attracteur du système de fonctions itérées.

• La dernière inégalité découle directement de l'inégalité

${\displaystyle h(L,A)\leq {\frac {h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)}{1-s}}}$

valable pour tout ${\displaystyle L\in {\mathcal {H}}(X)}$ et tout IFS ${\displaystyle \{w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}}$ sur ${\displaystyle X}$, d'attracteur ${\displaystyle A}$ et de rapport de contraction ${\displaystyle s}$^[5].

• Le théorème du collage apparaît, mise à part l'existence de l'IFS^[6] qui est lié à la précompacité de ${\displaystyle L}$, comme un cas particulier du théorème du point fixe de Banach.
• Son intérêt repose sur ses applications^[7].
• Le livre^[4] de Jean Dieudonné utilisé en référence dans l'énoncé du théorème possède un avant-propos de Gaston Julia, établissant une filiation entre toutes les idées.