Théorème japonais
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Dans les deux figures, la somme des rayons des cercles verts et celle des rayons des cercles rouges sont égales. | |
En géométrie, le théorème japonais dit que quelle que soit la manière dont on triangule un polygone inscriptible, la somme des rayons des cercles inscrits dans ces triangles est constante [1],[2].
La réciproque du théorème est vraie : si la somme des rayons des cercles inscrits est constante quelle que soit la triangulation, alors le polygone est inscriptible. Le théorème japonais découle du théorème japonais de Carnot.
Ce théorème est aussi une généralisation du théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles. Ce théorème montre que les centres des cercles inscrits dans les triangles issus des deux triangulations possibles d'un quadrilatère inscriptible forment un rectangle.
Le cas des quadrilatères suffit à prouver le cas général. En effet, en triangulant un polygone inscriptible, on crée plusieurs quadrilatères inscriptibles, et après application du théorème concernant les quadrilatères, chaque "changement de diagonale" créera une autre possibilité de triangulation. On peut ainsi créer toutes les triangulations possibles tout en conservant la somme des rayons des cercles inscrits dans tous les triangles formés et a fortiori dans le polygone tout entier. D'où le théorème pour les polygones inscriptibles qui peut être considéré comme un corollaire du théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles.
