Théorème japonais de Carnot

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Le théorème japonais de Carnot est un théorème de géométrie euclidienne dû à Lazare Nicolas Marguerite Carnot, portant sur une égalité algébrique de distances dans une construction faisant appel au cercle inscrit et au cercle circonscrit à un triangle^[1]^,^[2].

Énoncé

Théorème de Carnot^[4]^,^[5]^,^[6]. — Soit un triangle ABC et son cercle circonscrit de centre D et de rayon R. La somme des distances « signées » du centre D aux côtés du triangle est donnée par :

{\overline {FD}}+{\overline {GD}}+{\overline {HD}}=R+r

où r est le rayon du cercle inscrit au triangle et F, G, H les projetés orthogonaux de D respectivement sur les côtés [AC], [AB] et [BC].

Démonstration .

Triangle obtusangle	Triangle acutangle
$\scriptstyle \|{\overline {GD}}\|+\|{\overline {HD}}\|-\|{\overline {FD}}\|=\|{\overline {AD}}\|+\|{\overline {EI}}\|=R+r$	$\scriptstyle \|{\overline {GD}}\|+\|{\overline {HD}}\|+\|{\overline {FD}}\|=\|{\overline {AD}}\|+\|{\overline {EI}}\|=R+r$

Notes et références

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