Tourbillon de Lamb-Oseen

En mécanique des fluides le tourbillon de Lamb-Oseen est un écoulement tourbillonnaire de géométrie cylindrique et d'extension infinie, solution des équations de Navier-Stokes instationnaires pour les écoulements incompressibles. Il est ainsi nommé d'après les travaux de Horace Lamb et de Carl Wilhelm Oseen^[1].

Il est décrit dans un système de coordonnées cylindriques par :

${\displaystyle V_{\theta }(r,t)={\frac {\Gamma }{2\pi r}}\left[1-\exp \left(-{\frac {r^{2}}{r_{c}^{2}}}\right)\right]}$

où

• ${\displaystyle r}$ = est la coordonnée,
• ${\displaystyle r_{c}(t)={\sqrt {4\nu t+r_{c}(0)^{2}}}}$ le rayon moyen,
• ${\displaystyle \nu }$ = viscosité cinématique,
• ${\displaystyle \Gamma }$ = circulation de cet écoulement.

La vitesse radiale est nulle.

la vitesse est maximale à la distance^[2] :

${\displaystyle r_{\max }(t)={\sqrt {\alpha }}r_{c}(t)}$

où ${\displaystyle \alpha =1.25643...}$

Le tourbillon est donné par^[3] :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\Omega (r,t)&=&{\frac {\Gamma }{\pi r_{c}^{2}}}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{r_{c}^{2}}}\right)\\[0.6em]V_{\theta }(r,t)&=&V_{\theta }(r_{\max })\left(1+{\frac {1}{2\alpha }}\right){\frac {r_{\max }}{r}}\left[1-\exp \left(-\alpha {\frac {r^{2}}{r_{\max }^{2}}}\right)\right]\end{array}}}$

Le champ de pression associé est^[4] :

${\displaystyle {\partial p \over \partial r}=\rho {V_{\theta }^{2} \over r}}$

où ρ est la masse volumique.