Transformation équiaréale

Soient ${\displaystyle S_{1}}$ et ${\displaystyle S_{2}}$ deux surfaces de l'espace euclidien R³, f un difféomorphisme local de ${\displaystyle S_{1}}$ sur ${\displaystyle S_{2}}$ ; f est dite équiaréale si l'une quelconque des conditions équivalentes suivantes est réalisée ^[1] :

• L'aire de f(U) est égale à l'aire de U pour tout ouvert U dans ${\displaystyle S_{1}}$ .
• L'image réciproque de l'élément d'aire ${\displaystyle \mu _{S_{2}}}$ sur ${\displaystyle S_{2}}$ est égal à ${\displaystyle \mu _{S_{1}}}$, l'élément d'aire sur ${\displaystyle S_{1}}$ .
• En tout point m de ${\displaystyle S_{1}}$, et tous vecteurs v et w tangents à ${\displaystyle S_{1}}$ en m,

${\displaystyle ||df_{m}(v)\land df_{m}(w)||=||v\land w||\,}$

où ${\displaystyle \land }$ désigne le produit vectoriel et df la différentielle de f .

Si ${\displaystyle S_{1}}$ est paramétrée par ${\displaystyle \sigma _{1}(u,v)}$, et ${\displaystyle \sigma _{2}=f\circ \sigma _{1}}$, la condition s'écrit donc : ${\displaystyle \left\Vert {\frac {\partial \sigma _{2}}{\partial u}}\land {\frac {\partial \sigma _{2}}{\partial v}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {\partial \sigma _{1}}{\partial u}}\land {\frac {\partial \sigma _{1}}{\partial v}}\right\Vert }$ ^[1].

Un exemple de transformation équiaréale est la projection, dite isocylindrique, de la sphère unité x² + y² + z² = 1 privée des deux pôles ${\displaystyle (0,0,\pm 1)}$, orthogonalement sur le cylindre unité x² + y² = 1 ^[1] . Une formule explicite est

${\displaystyle f(x,y,z)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},z\right)}$

pour tout (x, y, z) de la sphère unité.

Archimède avait déjà démontré que la sphère a la même aire que sa projection sur le cylindre.

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Pour une transformation f de R² dans lui-même la condition d'équiaréalité s'écrit ${\displaystyle \left\vert \det \left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\right\vert =1}$.

Les transformations équiaréales du plan dans lui-même sont donc les transformations de jacobien ${\displaystyle \pm 1}$.

Un exemple quadratique est donné par ${\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y^{2}+2xy+x+2y,x^{2}+y^{2}+2xy+y)}$.

Une transformation linéaire est donc équiaréale si et seulement si elle est de déterminant ${\displaystyle \pm 1}$ (on peut aussi savoir qu'elle multiplie les aires par la valeur absolue de son déterminant).

Les isométries du plan euclidien en sont des exemples, mais il y en a d'autres, comme les transvections ou les rotations hyperboliques.

Une transvection transforme un rectangle en un parallélogramme de même aire. Sous forme matricielle, une transvection le long de l'axe x s'écrit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.}$

Une rotation hyperbolique allonge et contracte les côtés d'un rectangle de manière inverse l'une de l'autre, de sorte que l'aire est conservée. Sous forme matricielle, avec λ > 1, elle s'écrit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda \end{pmatrix}}}$.

L'élimination de Gauss-Jordan montre que toute transformation linéaire équiaréale (rotations comprises) peut être obtenue en composant au plus deux transvections le long des axes, une rotation hyperbolique et, si le déterminant est négatif, une réflexion.