Triangle hyperbolique

Dans toutes les formules énoncées ci-dessous, les côtés a, b et c (opposés aux angles A, B et C respectivement) doivent être mesurés en longueur absolue, une unité telle que la courbure de Gauss K du plan soit -1. En d'autres termes, la quantité R dans le paragraphe ci-dessus est supposée égale à 1.

Les formules trigonométriques pour les triangles hyperboliques dépendent des fonctions hyperboliques sinh, cosh et tanh.

Si C est un angle droit alors :

• le sinus de l'angle A est le sinus hyperbolique du côté opposé à l'angle divisé par le sinus hyperbolique de l'hypoténuse.

  ${\displaystyle \sin A={\frac {\sinh {\text{(opposé)}}}{\sinh {\text{(hypoténuse)}}}}={\frac {\sinh a}{\sinh c}}}$ ;

• le cosinus de l'angle A est la tangente hyperbolique du côté adjacent divisée par la tangente hyperbolique de l'hypoténuse.

  ${\displaystyle \cos A={\frac {\tanh {\text{(adjacent)}}}{\tanh {\text{(hypoténuse)}}}}={\frac {\tanh b}{\tanh c}}}$ ;

• la tangente de l'angle A est la tangente hyperbolique du côté opposé divisée par le sinus hyperbolique du côté adjacent.

  ${\displaystyle \tan A={\frac {\tanh {\text{(opposé)}}}{\sinh {\text{(adjacent)}}}}={\frac {\tanh a}{\sinh b}}}$ ;

• le cosinus hyperbolique du côté adjacent à l'angle A est le cosinus de l'angle B divisé par le sinus de l'angle A.

  ${\displaystyle \cosh {\text{(adjacent)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}}$ ;

• le cosinus hyperbolique de l'hypoténuse est le produit des cosinus hyperboliques des côtés.

  ${\displaystyle \cosh {\text{(hypoténuse)}}=\cosh {\text{(adjacent)}}\cosh {\text{(opposé)}}}$ ;

• le cosinus hyperbolique de l'hypoténuse est aussi le produit des cosinus des angles divisés par le produit de leurs sinus^[4].

  ${\displaystyle \cosh {\text{(hypoténuse)}}={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\cot A\cot B}$.

On a aussi les équations suivantes^[5] :

${\displaystyle \cos A=\cosh a\sin B}$ ;

${\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\cosh b}}}$ ;

${\displaystyle \tan A={\frac {\cot B}{\cosh c}}}$ ;

${\displaystyle \cos B=\cosh b\sin A}$ ;

${\displaystyle \cosh c=\cot A\cot B}$.

L'aire d'un triangle rectangle est :

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B}$ ;

également^[6],

${\displaystyle {\mathcal {A}}=2\arctan \left(\tanh {\frac {a}{2}}\tanh {\frac {b}{2}}\right)}$.

Un triangle oméga ayant un angle droit fournit la configuration pour examiner l'angle de parallélisme dans le triangle.

Dans ce cas en supposant l'angle B nul, les côtés a et c sont infinis et ${\displaystyle \tanh(\infty )=1}$, ce qui donne ${\displaystyle \cos A=\tanh {\text{(adjacent)}}}$.

Les formules trigonométriques des triangles rectangles donnent également les relations entre les côtés s et les angles A d'un triangle équilatéral (un triangle où tous les côtés ont la même longueur et tous les angles sont égaux).

Les relations sont :

${\displaystyle \cos A={\frac {\tanh {\frac {s}{2}}}{\tanh s}}}$ ;

${\displaystyle \cosh {\frac {s}{2}}={\frac {\cos {\frac {A}{2}}}{\sin A}}={\frac {1}{2\sin {\frac {A}{2}}}}}$.

Que C soit un angle droit ou non, les relations suivantes sont valables : la loi hyperbolique des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi hyperbolique) est la suivante :

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C}$.

Son théorème dual est

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c}$.

Il existe aussi une loi hyperbolique des sinus :

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}}$

et une formule des cotangentes :

${\displaystyle \cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B}$,

qui se démontre de la même manière que la formule analogue en trigonométrie sphérique.

• Quadrilatère de Lambert
• Quadrilatère de Saccheri (en)

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