Triangle idéal

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Dans le plan hyperbolique, on appelle triangle idéal la réunion de trois droites parallèles asymptotes deux à deux, et donc se coupant deux à deux en trois points situés à l’infini, qu’on appelle les sommets (idéaux) du triangle.

Les triangles idéaux ont les propriétés suivantes :

• Ils sont tous congruents entre eux, c'est-à-dire qu'il existe une isométrie entre deux d'entre eux.
• Leurs angles (intérieurs) sont tous nuls.
• Tout triangle (ordinaire) est inclus dans un triangle idéal (qui est donc le plus grand triangle possible)^[1].

On se place dans le cas où K, la courbure de Gauss du plan hyperbolique, vaut –1 ; on a alors^[2] :

• L'aire de tout triangle idéal est π^[1];

• Le cercle inscrit dans un triangle idéal a pour rayon ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 0,549}$^[3]. La distance d'un point intérieur au triangle au côté le plus proche est inférieure ou égale à r, l'égalité n'ayant lieu que pour le centre du cercle inscrit.

• Les trois points de tangence du cercle inscrit aux côtés forment un triangle équilatéral de côté ${\displaystyle d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0,962}$^[3], où ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le nombre d'or. Un cercle de rayon d centré en un point intérieur au triangle rencontre au moins deux des côtés du triangle.

• La distance d'un point situé sur un côté du triangle à un autre côté est inférieure ou égale à ${\displaystyle a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881}$, l'égalité n'ayant lieu que pour les trois points de tangence du cercle inscrit.

Les dimensions ci-dessus sont les plus grandes possibles pour un triangle hyperbolique quelconque, un résultat important dans la définition des espaces métriques hyperboliques. Plus précisément, le plan hyperbolique (de courbure de Gauss ${\displaystyle K=-1}$) est un espace δ-hyperbolique avec ${\displaystyle \delta =\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)}$.