Valuation p-adique

En théorie des nombres, la valuation $p$ -adique ou l'ordre $p$ -adique d'un entier non nul $n$ est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier $p$ qui divise $n$ : cet exposant est noté $\nu _{p}(n)$ . De manière équivalente, $\nu _{p}(n)$ est l'exposant auquel $p$ apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de $n$ . On prolonge cette notation aux rationnels non nuls en posant $\nu _{p}\left({\frac {m}{n}}\right)=\nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)$ .

La valuation $p$ -adique est une valuation, analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue aboutit aux nombres réels $\mathbb {R}$ , leur extension par rapport à la valuation $p$ -adique aboutit au corps des nombres $p$ -adiques $\mathbb {Q} _{p}$ ^[1].

Entiers

Soit $p$ un nombre premier.

La valuation $p$ -adique (des entiers) est définie comme étant l'application

\nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {N} \cup \{\infty \}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\longmapsto {\begin{cases}\max(\{k\in \mathbb {N} \mid \,p^{k}\mid n\}),&{\text{si }}n\neq 0\\\infty &{\text{si }}n=0\end{cases}}\end{matrix}}

$\mathbb {N}$ désignant l'ensemble des entiers naturels et $m\mid n$ signifiant m divise n ^[3].

Par exemple, pour $-12$ , dont la valeur absolue est égale à $|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$ , on a $\nu _{2}(-12)=2$ , $\nu _{3}(-12)=1$ , et $\nu _{5}(-12)=0$ .

La notation $p^{k}\parallel n$ est parfois utilisée pour signifier que $k=\nu _{p}(n)$ ^[4].

Si $n$ est un entier positif, alors

\nu _{p}(n)\leqslant \log _{p}n

car par définition : $n\geqslant p^{\nu _{p}(n)}$ .

Nombres rationnels

La valuation $p$ -adique peut être étendue aux nombres rationnels^[5]^,^[6] par :

\nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\{\frac {r}{s}}\longmapsto \nu _{p}(r)-\nu _{p}(s)\end{matrix}}

.

Par exemple, $\nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$ et $\nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$ , car ${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$ .

On a en particulier:

\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)

\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}

De plus, si $\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$ , alors

\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}

Valeur absolue p-adique

La valeur absolue $p$ -adique sur $\mathbb {Q}$ est la fonction définie par

$|x|_{p}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\p^{-v_{p}(x)}&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}$

Par exemple, $|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ et ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.$

La valeur absolue $p$ -adique est :

non-négative	$\|r\|_{p}\geq 0$
définie positive	$\|r\|_{p}=0\iff r=0$
multiplicative	$\|rs\|_{p}=\|r\|_{p}\|s\|_{p}$
ultramétrique	$\|r+s\|_{p}\leqslant \max \left(\|r\|_{p},\|s\|_{p}\right)$

Comme elle est multiplicative ( $|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ ) on a $|1|_{p}=1=|-1|_{p}$ et donc on a aussi $|{-r}|_{p}=|r|_{p}.$ L'inégalité triangulaire $|r+s|_{p}\leqslant |r|_{p}+|s|_{p}$ (sous-additivité) découle de l'inégalité ultramétrique $|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$ .

Le choix de la base $p$ dans l'exponentiation $p^{-\nu _{p}(r)}$ n'affecte pas la plupart des propriétés, et permet d'avoir la formule du produit :

\prod _{0,p}|r|_{p}=1

où le produit prend en compte tous les nombres premiers $p$ et la valeur absolue habituelle, notée $|r|_{0}$ . Cela découle simplement de la décomposition en facteurs premiers.

$\mathbb {Q}$ peut être muni d'une structure d'espace métrique par la distance (ultramétrique et invariante par translation)

d\colon {\begin{matrix}&\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}\\&(r,s)\longmapsto d(r,s)=|r-s|_{p}\end{matrix}}

La complétion de $\mathbb {Q}$ pour cette distance conduit au corps $\mathbb {Q} _{p}$ des nombres $p$ -adiques.

Valuation p-adique

Entiers

Nombres rationnels

Valeur absolue p-adique

Références

Liens internes

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