Variation quadratique

Pour un processus quelconque

Si ${\displaystyle X_{t}}$ est un processus stochastique à valeurs réelles défini sur un espace probabilisé ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ et avec un indice de temps ${\displaystyle t}$ qui parcourt les nombres réels positifs, sa variation quadratique est le processus, noté ${\displaystyle [X]_{t}}$, défini par :

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}$,

où ${\displaystyle P}$ parcourt les subdivisions de l'intervalle ${\displaystyle [0,t]}$ et la norme de la subdivision ${\displaystyle P}$ est son pas. Cette limite, si elle existe, est définie à l'aide de la convergence en probabilité. Un processus peut avoir une variation quadratique finie au sens de la définition ci-dessus, tout en ayant ses parcours presque sûrement de variation quadratique infinie pour tous les ${\displaystyle t>0}$, au sens classique où l'on prend la borne supérieure de la somme sur toutes les subdivisions ; c'est notamment le cas du mouvement brownien^[2].

Plus généralement, la covariation de deux processus ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ est :

${\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right)={\tfrac {1}{4}}([X+Y]_{t}-[X-Y]_{t})}$.

Pour une martingale

Avec les mêmes hypothèses, si ${\displaystyle X_{t}}$ est de plus une martingale, alors ${\displaystyle X_{t}^{2}}$ est une sous-martingale (d'après l'inégalité de Jensen conditionnelle). Par décomposition de Doob-Meyer on peut donc écrire de façon unique ${\displaystyle X_{t}^{2}=M_{t}+A_{t}}$ comme la somme d'une martingale ${\displaystyle M_{t}}$ et d'un processus prévisible croissant ${\displaystyle A_{t}}$. Une définition alternative possible de la variation quadratique (de la martingale ${\displaystyle X_{t}}$) est alors :

${\displaystyle [X]_{t}:=A_{t}}$.

Autrement dit, la variation quadratique de ${\displaystyle X_{t}}$ est le seul processus prévisible croissant ${\displaystyle [X]_{t}}$ tel que ${\displaystyle X_{t}^{2}-[X]_{t}}$ soit une martingale. On peut montrer^[3] que ces deux définitions sont bien sûr équivalentes quand ${\displaystyle X_{t}}$ est une martingale.