Variété de Whitehead

Prenez une copie de ${\displaystyle S^{3}}$. Prenez un tore solide (plein) compact sans nœud ${\displaystyle T_{1}}$ dans la sphère. Le complément fermé de ${\displaystyle T_{1}}$est un autre tore.

Prenez maintenant un second tore solide ${\displaystyle T_{2}}$ dans ${\displaystyle T_{1}}$ tel que ${\displaystyle T_{2}}$ et un voisinage tubulaire de la courbe méridienne de ${\displaystyle T_{1}}$est un lien de Whitehead épaissi.

Maintenant, construisez ${\displaystyle T_{3}}$ dans ${\displaystyle T_{2}}$ de la même manière que ${\displaystyle T_{2}}$ a été construit dans ${\displaystyle T_{1}}$, et ainsi de suite indéfiniment. définissez W, le continuum de Whitehead , comme étant ${\displaystyle W=T_{\infty }}$, ou plus précisément l'intersection de tous les ${\displaystyle T_{k}}$ pour ${\displaystyle k=1,2,3,\dots }$.

La variété de Withehead est définie comme ${\displaystyle X=S^{3}\setminus W}$, ce qui est une variété non compacte dans frontières.

Remarque : analyse impliquant les résultats de Morton Brown montre que ${\displaystyle X\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}}$. Cependant, X n'est pas homéomorphique à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Cela vient du fait qu'elle ne soit pas simplement liée à l'infini.

La compactification en un point de X est l'espace ${\displaystyle S^{3}/W}$ (avec W contracté en un point). Ce n'est pas une variété. Cependant, ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3}/W)\times \mathbb {R} }$ est homéomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ .

David Gabai a montré que X est l’union de deux copies de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dont l'intersection est aussi homéomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$^[1] .