Voisinage tubulaire

Supposons S ⊂ M = Rⁿ et notons f l'application NS → Rⁿ, (s, v) ↦ s + v. En tout point (s, 0) de la section nulle de NS, la différentielle de f est l'identité de T_sS⊕N_sS = Rⁿ, donc f est un difféomorphisme au voisinage de ce point, c'est-à-dire qu'il existe un réel δ > 0 tel que f soit un difféomorphisme de

${\displaystyle V_{\delta }(s):=\{(t,v)\in NS\mid \|t-s\|<\delta \quad {\rm {et}}\quad \|v\|<\delta \}}$

sur son image. Notons alors ε_s la borne supérieure de ces « bons rayons δ pour s », et supposons que tous les ε_s sont finis (sinon, V = NS convient et la preuve est terminée).

Pour tous points s et s' de S, puisque (pour tout δ > 0)

${\displaystyle V_{\delta }(s)\subset V_{\delta +\|s'-s\|}(s'),}$

on a

${\displaystyle \forall \delta >0\quad \left(\delta +\|s'-s\|<\varepsilon _{s'}\Rightarrow \delta \leq \varepsilon _{s}\right),}$

c'est-à-dire

${\displaystyle \varepsilon _{s'}\leq \varepsilon _{s}+\|s'-s\|.}$

La fonction s ↦ ε_s est donc continue (et même 1-lipschitienne), si bien que l'ensemble

${\displaystyle V:=\{(s,v)\in NS\mid \|v\|<\varepsilon _{s}/2\}}$

est un ouvert de NS (qui contient la section nulle).

La restriction de f à V est un difféomorphisme local, et il reste à vérifier qu'elle est injective. Si (s, v) et (s', v') appartiennent à V et ont même image par f alors, en supposant par exemple ε_s' ≤ ε_s puis en choisissant δ strictement compris entre ║v║ + ║v'║ et ε_s, on déduit de

${\displaystyle \|s'-s\|=\|v-v'\|\quad {\rm {et}}\quad \max(\|v\|,\|v'\|,\|v-v'\|)\leq \|v\|+\|v'\|<\delta }$

que (s, v) et (s', v') appartiennent tous deux à V_δ(s), sur lequel f est injective. Ils sont donc égaux, ce qui conclut.