Variété plate

La classification des variétés plates compactes donne lieu à d'intéressants allers-retours avec la théorie de la représentation des groupes finis. Le résultat fondamental s'obtient en transposant au cadre des variétés les travaux réalisés par Ludwig Bieberbach dans les années 1910-1912 sur les groupes de symétries de l'espace :

La classification des variétés plates compactes se ramène alors à celle de leur groupe fondamental : les groupes possibles sont appelés groupes de Bieberbach ; ce sont, parmi les groupes cristallographiques, ceux qui sont sans torsion^[2].

Ainsi, un groupe de Bieberbach ${\displaystyle \Gamma }$ est un sous-groupe discret, sans torsion, du groupe affine d'indice n, tel que l'espace ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}/\Gamma }$ est compact. Il vérifie une suite exacte de la forme

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{n}\to \Gamma \to H\to 0}$

où H est un groupe fini qui s'interprète comme le groupe d'holonomie de la variété M. On peut alors montrer que tout groupe fini peut être réalisé comme un tel groupe d'holonomie^[3].

• (de) L. Bieberbach, « Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I », Mathematische Annalen, vol. 70, t. 3,‎ 1911, p. 297–336 (DOI 10.1007/BF01564500).

• (de) L. Bieberbach, « Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II : Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich », Mathematische Annalen, vol. 72, t. 3,‎ 1912, p. 400–412 (DOI 10.1007/BF01456724).

• (de) A. Schoenflies, Kristallsysteme und Kristallstruktur, Teubner, 1891.

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