Vesica piscis

La vesica piscis est la réunion de deux segments circulaires ayant chacun pour angle au centre ${\displaystyle 2\times 60^{\circ }={\frac {2\pi }{3}}}$ radians.

Son aire vaut donc, pour des cercles de rayon ${\displaystyle R\ \!:}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {2\pi }{3}}-\sin {\frac {2\pi }{3}}{\bigg )}R^{2}={\bigg (}{\frac {2\pi }{3}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\bigg )}R^{2}\approx 1{,}228~\!37\ R^{2}\$ ;} pour plus de décimales, voir la suite A093731 de l'OEIS.

La figure ci-contre, présentant une vesica piscis entourée deux cercles de rayon double, permet une construction du nombre d'or.

Plus précisément, les deux cercles de rayon ${\displaystyle AB}$ de centres ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ de la vesica piscis sont entourés de deux autres cercles de rayon double ${\displaystyle AF=BE}$ et de mêmes centres ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$. Soient ${\displaystyle O}$ le milieu du segment ${\displaystyle [AB]}$, ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ les points d'intersection des deux petits cercles et ${\displaystyle X}$ l'un des points d'intersection des deux grands cercles, de sorte que ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle D}$ et ${\displaystyle X}$ sont alignés.

Alors ${\displaystyle CX=\varphi \cdot CD}$ : le point ${\displaystyle D}$ divise le segment ${\displaystyle [CX]}$ dans le rapport du nombre d'or ^[2],[3].

Démonstration

Sans perte de généralité, on choisit ${\displaystyle OA=OB=1}$. On a alors ${\displaystyle AB=AC=AD=BC=BD=2}$ et ${\displaystyle AF=AX=BE=BX=4}$.

D'après le théorème de Pythagore ${\displaystyle OD^{2}=AD^{2}-OA^{2}=4-1=3}$, donc ${\displaystyle OC=OD={\sqrt {3}}}$.

De même ${\displaystyle OX^{2}=AX^{2}-OA^{2}=16-1=15}$ donc ${\displaystyle OX={\sqrt {15}}}$.

Alors ${\displaystyle {\frac {CX}{CD}}={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{2\cdot {\sqrt {3}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi }$ ce qui montre le résultat.

Dans l'art chrétien, certaines auréoles ont la forme d'une vesica piscis verticale, et le sceau des organisations ecclésiastiques est parfois inséré dans une vesica piscis verticale plutôt que dans un cercle.

Une figure de l'art celtique est la triquetra, formée de trois vesica piscis entrelacées, formant donc un nœud de trèfle.

Selon la tradition, vers 360 avant J.-C., le mathématicien Euclide créé et utilise un compas pour la fabrication de la vesica et démontre la construction de figures géométriques à partir de celle-ci^[4].

De façon profane, la vesica piscis peut servir de base pour le dessin d'un œil ou d'un poisson (voir aussi à Ichthus)^[5].

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  Miniature médiévale montrant un Christ en majesté dans une vesica piscis.
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  Couvercle du Chalice Well (en).
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  Triquetra entrelacée.
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  Utilisation pour le dessin d'un œil.
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  Utilisation pour le dessin d'un poisson.