Électromouillage

L'électromouillage appartient au domaine de la microfluidique, c'est-à-dire qu'il concerne des gouttes de dimensions submillimétriques. La plupart des expériences publiées s'intéressent à des gouttes dont le diamètre se situe entre 100 µm et 1 mm^[1]. À cette échelle, la tension superficielle comme la capacité électrique créent une énergie proportionnelle à la surface de la goutte qui devient, lorsque les dimensions augmentent, négligeable face aux effets du poids qui, lui, est proportionnel au volume. Physiquement, on dit que le nombre d'Eötvös est très petit devant 1, ce qui signifie que le poids devient négligeable devant les forces capillaires mises en jeu.

Dans cette première section de l'article, une première approximation du phénomène, reposant sur un certain nombre d'hypothèses simplificatrices, notamment le fait que la dérivée de la capacité par rapport à la surface est constante et que le liquide est parfaitement conducteur^[2], est décrite dans différents cas. La deuxième section abordera des cas où certaines de ces hypothèses ne sont plus vérifiées.

La figure ci-contre représente le phénomène d'électromouillage dans sa manifestation la plus simple. Une goutte de liquide conducteur (représentée arbitrairement en vert) est déposée sur une couche isolante (vert jaune), elle-même posée sur un substrat conducteur (bleu). Le substrat est isolant et suffisamment hydrophobe pour que le mouillage ne soit pas total : le liquide forme une goutte et ne s'étale pas. L'électrode qui doit relier la goutte n'est pas représentée ici.

Lorsqu'une tension est appliquée entre le substrat et le liquide, le bilan énergétique fait intervenir deux types d'énergie : l'énergie de mouillage des espèces concernées, et l'énergie électrique stockée dans la capacité. Puisque le système présente deux conducteurs séparés par un isolant, une capacité électrique se forme et modifie le mouillage, et donc la forme de la goutte.

En l'absence de diélectrique, si le liquide est posé directement sur le métal, il existe tout de même une capacité, déterminée par l'effet de double couche électrique^[3].

La capacité créée autour du diélectrique vaut par unité de surface :

${\displaystyle C_{s}={\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r}}{t}}}$

où

• є₀ est la permittivité de référence,
• є_r est la permittivité relative du diélectrique,
• ${\displaystyle t}$ est son épaisseur.

La tension appliquée est notée ${\displaystyle V}$, et, pour une variation infinitésimale ${\displaystyle \delta S}$ de la surface de la goutte, l'énergie électrostatique stockée dans la goutte varie de :

${\displaystyle {\frac {C_{s}V^{2}\delta S}{2}}}$

tandis que la source électrique fournit un travail égal à :

${\displaystyle -C_{s}V^{2}\delta S}$

il y a donc une variation d'énergie électrique globale de ${\displaystyle -{\frac {C_{s}V^{2}\delta S}{2}}}$. La goutte tend à minimiser l'énergie électrique totale en s'étalant^[4].

En prenant en compte la force dérivant de cette énergie électrique en plus des tensions de surface, on modifie la loi de Young-Dupré, laquelle détermine l'angle de contact au bord de la goutte en situation d'équilibre. Lorsque la ligne de contact est à l'équilibre, les composantes horizontales des forces s'y appliquant doivent s'annuler, soit :

${\displaystyle \gamma _{2}\cos \theta +\gamma _{1}=\gamma _{3}+{\frac {C_{s}V^{2}}{2}}}$

Cette équation est connue comme l'équation de Young-Lippmann, où

• ${\displaystyle \gamma _{1}}$ est la tension superficielle entre l'isolant et le liquide,
• ${\displaystyle \gamma _{2}}$ est la tension de surface entre le liquide conducteur et le milieu ambiant (air par exemple),
• ${\displaystyle \gamma _{3}}$ est la tension de surface entre l'isolant et le milieu ambiant,
• ${\displaystyle \theta }$ est l'angle de contact, défini comme sur la figure.

Le bilan des forces appliquées sur la ligne de contact apparaît sur la figure, avec la réaction R du substrat.

Ce dont on déduit l'expression du cosinus de l'angle de contact^[5] :

${\displaystyle \cos \theta =\left({\frac {\gamma _{3}-\gamma _{1}+{\frac {C_{s}V^{2}}{2}}}{\gamma _{2}}}\right)\,}$

On peut aussi exprimer cette relation sous la forme :

${\displaystyle \cos \theta =\cos \theta _{0}+{\frac {C_{s}V^{2}}{2\gamma _{2}}}\,}$

où ${\displaystyle \theta _{0}}$ est l'angle de contact « au repos » (sans différence de potentiel électrique), et le terme ${\displaystyle {\frac {C_{s}V^{2}}{2\gamma _{2}}}}$, parfois appelé « nombre d'électromouillage »^[6] exprime le ratio du phénomène électrostatique par rapport à la tension superficielle. C'est un nombre adimensionnel.

La tension électrique intervient au carré ; ainsi l'application d'une tension, qu'elle soit positive ou négative, tend toujours à « étaler » davantage le liquide sur la surface.

Ici la goutte observée (vert) est un liquide diélectrique (par exemple une huile minérale) entourée d'un liquide conducteur (tel une solution aqueuse), les deux liquides devant bien sûr être non miscibles. Lorsqu'une tension est appliquée entre l'eau et le substrat, la surface de contact tend comme précédemment à augmenter, mais cela se traduit ici par un relèvement de la goutte. La position initiale des liquides est réglée en jouant localement sur l'hydrophilie de la surface^[7].

Une autre manifestation de l'électromouillage est celle mise en évidence par Henri Pellat. Dans le dispositif illustré ci-contre, deux électrodes parallèles sont partiellement immergées dans un liquide isolant (huile par exemple), de permittivité relative ${\displaystyle \kappa _{1}}$, et de masse volumique ${\displaystyle \rho }$.

Du fait des forces capillaires, le liquide va monter ou descendre entre les deux plaques, selon son énergie de mouillage au contact des électrodes. Si une tension est appliquée entre les électrodes, on emmagasine de l'énergie électrique dans la capacité formée entre elles. Comme dans le cas précédent, cette énergie va modifier la position d'équilibre^[8],[9].

En écrivant les variations d'énergie (énergie électrique et énergie potentielle de gravité) dues à un changement ${\displaystyle \delta h}$ de la hauteur du liquide et en cherchant l'équilibre, on obtient la montée due à la tension électrique, qui s'ajoute à la montée capillaire proprement dite^[8] :

${\displaystyle h=h_{cap}+{\frac {(\kappa _{1}-1)\epsilon _{0}V^{2}}{2\rho gD^{2}}}}$

Où g est la pesanteur. Ici encore, la tension intervient au carré, l'effet est donc toujours une montée supplémentaire, que la tension soit positive ou négative.

Le principe de déplacement d’une goutte est illustré dans l’image ci-contre. Une différence de potentiel est appliquée entre la goutte et l'électrode de gauche (violet), celle de droite (jaune) est laissée flottante (c'est-à-dire déconnectée du circuit électrique). Il en résulte une forme asymétrique de la goutte, car les angles de contact sont différents, et surtout un bilan des forces non nul (la composante ${\displaystyle {\frac {C_{s}V^{2}}{2}}}$ n'étant présente que d'un côté), qui déplace la goutte vers la gauche. En pratique, la goutte est « attirée » par l'électrode active. C'est sur ce principe que l'on peut déplacer des gouttes, par un réseau d'électrodes activées séquentiellement^[11].

Dans la variante EWOLF (electrowetting on liquid-infused film), la surface de l'isolant est une membrane perméable (en PTFE dans les premiers travaux publiés) imprégnée d'une huile jouant un rôle de lubrifiant. Cette forme d'électromouillage présente des caractéristiques intéressantes : la réversibilité est bien meilleure, et les oscillations transitoires des gouttes sont réduites^[12].

Le phénomène inverse associé à l'électromouillage (REWOD : reverse electrowetting on dielectric) a été décrit dans les années 2000 par Tom Krupenkin et Ashley Taylor. Considérons une goutte de liquide conducteur placée en vis-à-vis d'une électrode, dont elle est séparée par un diélectrique. Le dispositif est polarisé, c'est-à-dire qu'une différence de potentiel est appliquée entre la goutte et l'électrode. Si une force mécanique est appliquée, forçant la goutte à se déplacer, ce déplacement réduit la surface en vis-à-vis et donc la capacité, produisant un déplacement de charges électriques. La goutte revient ensuite à sa position initiale, créant un courant dans le sens inverse. Si cette opération (déplacement de la goutte et retour à sa position initiale) est répété, l'intégrale sur un cycle de la puissance créée par le déplacement de charges est non nulle, il y a donc une production nette d'énergie^[13].

Le phénomène est en réalité plus complexe que décrit précédemment. Cette section regroupe les cas qui s'éloignent du modèle de premier ordre.

À l'échelle microscopique, la surface de la goutte peut présenter une courbure différente au pied de la goutte, et l'angle de contact local peut être différent de celui observé macroscopiquement, comme illustré ci-contre. Ce phénomène s'explique par la présence de lignes de champ quasi-horizontales dans cette zone, et de charges électriques dans le liquide. La force de Coulomb exercée sur le fluide modifie la forme de la goutte (très localement) jusqu'à être compensée par la pression de Laplace. L'équation ci-dessus donnant l'expression de ${\displaystyle \cos {\theta }}$ reste vraie mais s'applique à l'angle de contact apparent (à l'échelle de l'ensemble de la goutte), tandis que l'angle local obéit à d'autres lois^[1] : il tend en réalité à rester constant, égale à ${\displaystyle \theta _{0}}$.

Pour déterminer la forme de la goutte, il faut noter qu'en tout point de sa surface, il existe en régime stationnaire un équilibre entre plusieurs termes de pression : électrostatique (tenseur des contraintes de Maxwell), gravitationnelle, et pression de Laplace. Cet équilibre s'écrit^[14] :

${\displaystyle -{\rho }gz+\gamma _{2}({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}})+{\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r}E_{n}^{2}}{2}}+\Delta P=0}$

Avec

• ${\displaystyle E_{n}}$ la composante du champ électrique normale à la surface
• ${\displaystyle \Delta P}$ le saut de pression entre l'intérieur et l'extérieur de la goutte
• ${\displaystyle R_{1}}$ et ${\displaystyle R_{2}}$ le rayon de courbure de la surface de la goutte selon deux directions orthogonales.

${\displaystyle E_{n}}$ est négligeable, sauf au voisinage immédiat de la ligne de contact. À proximité immédiate de celle-ci (dans une zone dont la hauteur est du même ordre de grandeur que l'épaisseur ${\displaystyle d}$ du diélectrique), le terme dépendant de ${\displaystyle E_{n}}$ vient modifier la courbure, ce qui explique la différence entre l'angle apparent et l'angle local.

Si la tension appliquée est alternative, le comportement de la goutte dépend de la fréquence. En basse fréquence, elle se déformera en suivant le carré de la tension instantanée, c'est-à-dire qu'elle sera toujours en position d'équilibre. En haute fréquence, les phénomènes d'écrantage font que le liquide ne se comporte plus comme un conducteur (et l'électromouillage disparaît). Dans une gamme de fréquence intermédiaire, c'est simplement la valeur efficace du signal appliqué qui intervient dans l'équation^[15].

Dans le cas d'une solution aqueuse, l'effet de l'électromouillage commence à diminuer vers 1 kHz, après une période de transition d'environ une décade il disparaît, laissant place à un autre phénomène, la diélectrophorèse^[8],[16].

L'équation de Young-Lippmann est valide jusqu'à une certaine limite en tension, où un phénomène de saturation apparaît. Cela empêche d'atteindre une situation de mouillage total que l'équation permettrait, en élevant la tension au point que le terme de droite de l'équation devient supérieur à 1^[17]. Plusieurs mécanismes explicatifs (qui ne sont pas mutuellement exclusifs et dont l'ordre d'importance peut changer selon la situation) ont été avancés pour ce phénomène, notamment une limite thermodynamique de la tension de surface effective (qui ne pourrait devenir négatif), l'ionisation du milieu ambiant par la singularité de champs électriques au voisinage de la ligne de contact, ou le fait que les fuites du diélectrique deviennent non négligeables^[18].

La valeur à laquelle ce phénomène se présente dépend, notamment, des caractéristiques de la couche diélectrique (épaisseur, permittivité, tension de surface). Dans le cas assez typique où on étudie solution aqueuse sur une couche de teflon de 2,4 μm les mesures « décrochent » de la loi théorique pour une tension de 109 volts^[19].

En 2015 un modèle prédisant assez bien le phénomène de saturation a été présenté^[20]. Dans ce modèle, tant le diélectrique que le liquide sont présentés comme des conducteurs imparfaits et la répulsion entre les charges accumulées dans l’un et l'autre explique la saturation.

En outre, à l'approche de la saturation, l'électromouillage peut devenir asymétrique, c'est-à-dire que des angles de contacts différents sont obtenus pour les tensions ${\displaystyle +V}$ et ${\displaystyle -V}$^[21].

Lorsque la tension appliquée est importante, l'effet de pointe électrostatique crée un champ électrique localement plus important dans le diélectrique immédiatement sous la ligne de contact. Ainsi peut-il apparaître à cet endroit une accumulation de charges dans le diélectrique, voire un claquage diélectrique^[22].

Idéalement, l'électromouillage est un phénomène parfaitement réversible. Cependant, en pratique, il peut présenter un comportement hystérétique, c'est-à-dire si la tension est modifiée et ramenée à sa valeur initiale, la forme de la goutte reste modifiée. Ce comportement s'explique par les forces d'épinglage dues aux inhomogénéités, à l'échelle microscopique, de la surface : chaque inhomogénéité crée un obstacle que la ligne de contact doit franchir au prix d'une dépense énergétique. C'est pour cette même raison qu'il existe, pour le déplacement de goutte, une force minimale à exercer en dessous de laquelle la goutte ne se déplace pas^[23].

Pour réduire cet effet de seuil et cette hystérésis, qui pénalisent les applications, il existe plusieurs stratégies. La plus évidente est de chercher à obtenir la surface la plus homogène possible. Une autre méthode est d'utiliser une tension alternative, les vibrations qu'elle induit dans la ligne de contact aidant à franchir les obstacles^[24],[23]. Enfin, utiliser un contact « liquide sur liquide » est très efficace^[12].

Dans un dispositif d'optoélectromouillage, on cumule le principe de l'électromouillage avec l'utilisation d'un photoconducteur, c'est-à-dire un matériau dont la résistivité électrique diminue sensiblement lorsqu'il est exposé à la lumière. On crée ainsi un pont diviseur de tension, avec en série la résistance de la couche photoconductrice et la capacité sous la goutte — il faut donc appliquer une tension alternative pour que l'effet diviseur soit présent. Lorsque le photoconducteur est exposé à la lumière, sa résistivité diminue et la tension « vue » par la goutte augmente, ce qui accroît l'effet de l'électromouillage. Localisé, cet effet permet par exemple de déplacer des gouttes à l'aide d'un rayon laser^[25].

Le photoélectromouillage est légèrement différent parce qu'il utilise non pas un matériau photoconducteur, mais la capacité créée par une photodiode. Une zone de charge d'espace est présente sous la goutte, ce qui crée un pont diviseur capacitif. La présence d'un rayon lumineux incident réduit l'étendue de cette zone en libérant des porteurs (principe de la photodiode), augmentant la capacité correspondante, et ici encore augmente le mouillage^[26].

L'élasto-capillarité est la faculté des forces capillaires à déformer des solides élastiques à petite échelle^[27]. Ainsi, une goutte posée sur un substrat à faible module de Young aura tendance à déformer celui-ci pour créer une forme de cuvette, tandis qu'une goutte présente entre deux fines lamelles flexibles pourra les coller l'une à l'autre^[28].

L'électro-élasto-capillarité consiste à combiner cet effet avec l'électromouillage pour le rendre pilotable et réversible^[29],[30].

Les performances des systèmes à électromouillage sont considérablement augmentées si les gouttes sont placées sur une surface structurée superhydrophobe, c'est-à-dire présentant de très grandes valeurs de ${\displaystyle \gamma _{1}}$. En effet, avec une valeur initiale très grande de ${\displaystyle \theta }$, on dispose de plus de marge pour faire jouer l'effet de l'électromouillage. C'est ainsi que la vitesse de déplacement des gouttes a pu être portée à 460 mm/s dans certains dispositifs^[10].