Équation de Falkner-Skan

On considère l'écoulement potentiel stationnaire sur un dièdre d'angle au sommet ${\displaystyle \textstyle \pi \beta }$ et de longueur L. Celui-ci est plongé dans un écoulement homogène de vitesse ${\displaystyle \textstyle V_{\infty }}$.

On suppose que la vitesse à l'extérieur de la couche limite est de la forme :

${\displaystyle u_{e}(x)=V_{\infty }\left({\frac {x}{L}}\right)^{m}}$

où ${\displaystyle \textstyle x\in [0,L]}$ est l'abscisse comptée le long de la paroi et m un paramètre. L'épaisseur de couche limite est supposée de même forme que celle de la solution de Blasius :

${\displaystyle \delta (x)\;=\;{\sqrt {\frac {\nu x}{u_{e}(x)}}}\;=\;{\sqrt {\frac {2\nu L}{V_{\infty }(m+1)}}}\left({\frac {x}{L}}\right)^{(1-m)/2}}$

où ${\displaystyle \textstyle \nu }$ est la viscosité cinématique.

Le potentiel est donné par^[2] :

${\displaystyle \phi (x,y)=u_{e}(x)\delta (x)f(\eta )={\sqrt {\frac {2\nu V_{\infty }L}{m+1}}}\left({\frac {x}{L}}\right)^{(m+1)/2}f(\eta )}$

où ${\displaystyle \textstyle \eta ={\frac {y}{\delta }}}$ est l'ordonnée réduite et f une fonction à déterminer.

La résolution du problème, analogue à celle du problème de Hiemenz, conduit à l'équation de Falkner-Skan :

${\displaystyle f'''+ff''+\beta \left[1-(f')^{2}\right]=0}$

avec les conditions aux limites :

${\displaystyle f(0)=f'(0)=0,\quad f'(\infty )=1}$

Les vitesses sont :

${\displaystyle u(x,y)={\frac {\partial \phi }{\partial y}}=u_{e}(x)f'}$

et

${\displaystyle v(x,y)=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}=-{\sqrt {{\frac {m+1}{2}}\nu V_{\infty }\left({\frac {x}{L}}\right)^{2m-1}}}\left(f+{\frac {m-1}{m+1}}\eta f'\right)}$

L'angle du dièdre peut être déduit des vitesses :

${\displaystyle \beta ={\frac {2m}{m+1}}}$

${\displaystyle \textstyle m=\beta =0}$ correspond à la plaque plane et à la solution de Blasius et ${\displaystyle \textstyle m=\beta =1}$ au point d'arrêt de Hiemenz. ${\displaystyle \textstyle m<0}$ correspond à un gradient de pression adverse, pouvant conduire au décollement de la couche limite.

Douglas Hartree a montré que la solution n'a de sens physique que dans le domaine ${\displaystyle \textstyle m>-0.090429}$ pour lequel ${\displaystyle \textstyle \forall \eta \;f(\eta )\leq 1}$^[3].

Cette approche peut être généralisée au cas de l'écoulement compressible^[4]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Falkner–Skan boundary layer » (voir la liste des auteurs).

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