Équation de Richards

L’équation de Richards sera établie ici dans le cas simple d'un écoulement vertical. Le principe de conservation de la masse énonce que le taux de variation du degré de saturation d'une particule est égal au taux de variation de la somme des débits q entrants et sortants de ce volume :

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\vec {\nabla }}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{{\vec {q}}_{i,\,{\text{in}}}}-\sum _{j=1}^{m}{{\vec {q}}_{j,\,{\text{out}}}}\right)}$

Mise sous forme unidimensionnelle pour la direction ${\displaystyle {\hat {k}}}$, on obtient l'équation de continuité en 1D:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial z}}q}$

La densité de flux d'eau q dans un sol soumis a un gradient de charge hydraulique est régi par la loi empirique de Darcy:

${\displaystyle q=-K{\frac {\partial H}{\partial z}}}$

Reportant la densité de flux q dans l'équation de continuité ci-dessus, on obtient :

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K{\frac {\partial H}{\partial z}}\right]}$

En faisant l'hypothèse que la charge hydraulique totale est composée par les charge matricielle et gravitationnelle (H= h + z), on obtient :

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+{\frac {\partial z}{\partial z}}\right)\right]={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right]}$

On obtient ainsi l'équation annoncée, dite « formulation mixte^[4] » (ou à deux champs) de l’équation de Richards.

Summarize Timeline Fact Check

L’équation de Richards intervient dans de nombreux articles de sciences de l'environnement puisqu'elle décrit l'écoulement au sein de la zone vadose mais son caractère non-linéaire intéresse aussi les mathématiciens. On la rencontre d'ordinaire sous trois formes. La formulation mixte (vue ci-dessus) fait intervenir la pression interstitielle et le degré de saturation ; mais on peut l'écrire en ne faisant apparaître qu'un champ : la charge hydraulique, ou le taux de saturation.

${\displaystyle C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(K(h)\nabla H\right)}$

où C(h) [1/L] est une fonction décrivant le taux de variation du degré de saturation en fonction de la charge hydraulique :

${\displaystyle C(h)\equiv {\frac {\partial \theta }{\partial h}}}$

Cette fonction est appelée « capacité de rétention spécifique » dans la littérature : on peut la mesurer pour différents types de sol en mesurant la vitesse d’infiltration de l'eau dans une colonne de sol, comme l'a montré van Genuchten^[5] (1980).

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot D(\theta )\nabla \theta }$

où D(θ) [L²/T] est la diffusivité hydraulique du sol :

${\displaystyle D(\theta )\equiv {\frac {K(\theta )}{C(\theta )}}\equiv K(\theta ){\frac {\partial h}{\partial \theta }}}$