Équation de la force vive

L'équation de la force vive relie la vitesse et la position d'un corps léger en orbite autour d'un corps massif. Elle est définie par :

${\displaystyle v={\sqrt {GM\left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}}}$

où :

• ${\displaystyle v\,\!}$ est la vitesse relative des deux corps ;
• ${\displaystyle r\,\!}$ est la distance entre les deux corps ;
• ${\displaystyle a\,\!}$ est le demi-grand axe de la trajectoire suivie par le corps en orbite ;
• ${\displaystyle G\,\!}$ est la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle M}$ est la masse du corps central.

Malencontreusement, la lettre ${\displaystyle \mu }$ est couramment utilisée pour représenter deux quantités distinctes intervenant dans les calculs liés à la force vive :

• le paramètre gravitationnel standard ${\displaystyle \mu =GM}$ ;
• la masse réduite ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$.

Pour éviter les confusions, aucune des deux notations ne sera utilisée ici.

La méthode présentée ici a pour objectif de rester simple, en évitant de faire appel au calcul vectoriel ou différentiel.

Une approche plus classique pour établir cette équation s'appuie sur les calculs liés aux trois lois de Kepler, comme on peut le voir sur la page consacrée à l'énergie orbitale spécifique.

Considérons deux corps en orbite autour l'un de l'autre et plaçons-nous dans un repère galiléen centré sur le barycentre des deux corps.

Pour chaque corps, ${\displaystyle v}$ représente sa vitesse, ${\displaystyle r}$ sa distance au centre de gravité commun et ${\displaystyle m}$ sa masse. ${\displaystyle m'}$est la masse du second corps

Chacun des deux corps possède une énergie cinétique ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$ et une énergie potentielle de gravité ${\displaystyle {\frac {-Gmm'}{r}}}$

L'énergie totale de deux corps d'indice 1 et 2 s'écrit alors comme la somme des quatre composantes :

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\left(m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\right)-Gm_{1}m_{2}\left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right)}$

Considérons que le premier corps est beaucoup plus massif que le second, au point que ${\displaystyle m_{2}}$ devient négligeable par rapport à ${\displaystyle m_{1}}$.

Cette hypothèse implique que le centre de gravité se confond avec le centre du premier corps. Dans ce repère, l'énergie du premier corps est donc nulle.

L'expression de l'énergie du système se simplifie en :

${\displaystyle E=m_{2}\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}-{\frac {Gm_{1}}{r_{2}}}\right)}$

Diviser par la masse du corps en orbite produit l'énergie orbitale spécifique, aussi appelée force vive ou vis viva en latin :

${\displaystyle \epsilon =E/m_{2}={\frac {v_{2}^{2}}{2}}-{\frac {Gm_{1}}{r_{2}}}}$

En renommant les variables :

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}}$

• ${\displaystyle v}$ est la vitesse relative des deux corps ;
• ${\displaystyle r}$ est la distance entre les deux corps ;
• ${\displaystyle M}$est la masse du corps central.

Pour trouver une expression de cette énergie indépendante de la position du corps en orbite, on va considérer sa valeur à l'apoapside et à la périapside, dénotées par les indices ${\displaystyle _{a}}$et ${\displaystyle _{p}}$.

La conservation de l'énergie implique ${\displaystyle \epsilon _{a}=\epsilon _{p}}$, soit

${\displaystyle {\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$

En utilisant la conservation du moment cinétique ${\displaystyle h}$ et en remarquant que les vitesses sont perpendiculaires aux rayons pour ces deux positions, on a :

${\displaystyle h=v_{a}r_{a}=v_{p}r_{p}\Longrightarrow v_{p}={\frac {v_{a}r_{a}}{r_{p}}}}$

Ce qui permet d'éliminer ${\displaystyle v_{p}}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}-{\frac {GM}{r_{a}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {v_{a}r_{a}}{r_{p}}}\right)^{2}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$

On réordonne pour exprimer l'énergie cinétique spécifique ${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}(1-{\frac {r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}})=GM({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{r_{p}}})}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}{\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{p}r_{a}}}=GM{\frac {r_{p}^{2}}{(r_{p}-r_{a})(r_{p}+r_{a})}}{\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{p}r_{a}}}=GM{\frac {r_{p}}{r_{a}(r_{p}+r_{a})}}}$

La géométrie des courbes coniques, en notant ${\displaystyle a}$ le demi-grand axe, donne :

• ${\displaystyle r_{a}+r_{p}=2a}$
• ${\displaystyle r_{p}=2a-r_{a}}$

ce qui permet d'éliminer ${\displaystyle r_{p}}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM\left({\frac {2a-r_{a}}{2a\ r_{a}}}\right)=GM({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{2a}})}$

En reportant dans l'expression de l'énergie totale :

${\displaystyle \epsilon _{a}={\frac {1}{2}}v_{a}^{2}-GM({\frac {1}{r_{a}}})=GM({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{2a}}-{\frac {1}{r_{a}}})}$

On obtient finalement :

${\displaystyle \epsilon =-{\frac {GM}{2a}}}$

Ce qui montre que l'énergie spécifique du système ne dépend que de la masse du corps central et de la géométrie de l'orbite.

Notamment, toutes les trajectoires de même grand axe ont la même énergie, quelle que soit leur excentricité.

L'énergie étant conservée en tout point de la trajectoire, on a :

${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{a}\Longrightarrow {\frac {1}{2}}v^{2}-{\frac {GM}{r}}=-{\frac {GM}{2a}}\Longrightarrow v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$

On retrouve bien l'équation voulue :

${\displaystyle v={\sqrt {GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}}}$