Équation hypsométrique

L'équation hydrostatique relie la variation de pression atmosphérique ou hydrologique avec celle de la hauteur. La dérivée de p versus z est^[2],[4] :

${\displaystyle \mathrm {d} p=-\rho \cdot g\cdot \delta z}$

où ${\displaystyle \ \rho }$ est la masse volumique (kg/m³) du fluide pour obtenir l'équilibre hydrostatique.

En utilisant l'équation des gaz parfaits^[2],[4] :

${\displaystyle p=\rho \cdot R\cdot T}$.

Il est possible d'éliminer ${\displaystyle \rho }$ :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z}$.

Ensuite en intégrant de ${\displaystyle \ z_{1}}$ à ${\displaystyle \ z_{2}}$^[2],[4] :

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z}$.

R et g sont considérés comme presque constants avec z dans la faible couche atmosphérique, il est donc possible de les mettre sous l'intégrale^[2],[4]. Si la température varie de façon linéaire avec z (comme dans l'atmosphère standard internationale), elle peut être sortie de l'intégrale et remplacée par ${\displaystyle {\bar {T}}}$, une température moyenne de la couche de ${\displaystyle z_{1}}$ à ${\displaystyle z_{2}}$^[2],[4].

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z}$

L'intégrale donne donc^[4] :

${\displaystyle \ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})}$.

Après simplification :

${\displaystyle \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})}$.

Et réarrangement des termes :

${\displaystyle (z_{2}-z_{1})={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)}$

ou en éliminant le logarithme naturel (ln) :

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{g \over R\cdot {\bar {T}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}}$.