Équivalence hypersonique

Le corps est décrit par son rayon :

${\displaystyle r(x)=\left\{{\begin{array}{lcl}f(x)~convexe&si&0<x<l\,,\quad f(0)=f(l)=0\\[0.6em]0&si&x>l\end{array}}\right.}$

La fonction f est continue mais non nécessairement à dérivée continue.

On définit un paramètre d'élancement :

${\displaystyle \chi ={\frac {max(f)}{l}}<<1}$

Le milieu est décrit par la masse volumique ${\displaystyle \rho }$, la pression ${\displaystyle p}$, la vitesse ${\displaystyle \mathbf {V} =(u,v)^{t}}$ et l'indice adiabatique ${\displaystyle \gamma }$. La vitesse du corps est ${\displaystyle V_{\infty }}$ telle que le nombre de Mach

${\displaystyle Ma_{\infty }={\sqrt {\gamma \,p\,\rho ^{-1}}}>>1}$.

Les équations d'Euler sont développées à l'ordre 1 en supposant que la vitesse en tout point diffère peu de ${\displaystyle V_{\infty }}$^[2],[3] :

${\displaystyle u=V_{\infty }+{\tilde {u}}\,,\quad v={\tilde {v}}}$

Les perturbations ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ et ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ sont en ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\chi )}$.

On obtient ainsi le système :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}V_{\infty }{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho {\tilde {v}})}{\partial r}}+{\frac {\rho {\tilde {v}}}{r}}=0\\[0.6em]V_{\infty }{\frac {\partial {\tilde {v}}}{\partial x}}+{\tilde {v}}{\frac {\partial {\tilde {v}}}{\partial r}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}=0\\[0.6em]V_{\infty }{\frac {\partial }{\partial x}}(p\rho ^{-\gamma })+{\tilde {v}}{\frac {\partial }{\partial r}}(p\rho ^{-\gamma })=0\end{array}}}$

Dans ce système la composante longitudinale u de la vitesse n'apparaît pas, son gradient étant en ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\chi ^{2})}$.

À titre de comparaison, les équations pour un système unidimensionnel instationnaire s'écrit :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial r}}+{\frac {\rho v}{r}}=0\\[0.6em]{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}=0\\[0.6em]{\frac {\partial }{\partial t}}(p\rho ^{-\gamma })+v{\frac {\partial }{\partial r}}(p\rho ^{-\gamma })=0\end{array}}}$

On passe d'un système à l'autre par l'équivalence formelle ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}=V_{\infty }{\frac {\partial }{\partial x}}}$. Par suite on peut assimiler les solutions du premier problème à celles du second que l'on interprète comme un problème instationnaire en coordonnées cylindriques dans lequel une paroi (le « piston ») pousse (ou tire) l'air à partir de l'axe, à la vitesse ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[r(x=V_{\infty }t)\right]}$. Ce problème, décrivant une détonation, est de dimension 1 en espace, donc beaucoup plus facile à résoudre. Il permet d'utiliser les résultats de la théorie correspondante de l'onde de détonation Taylor-von Neumann-Sedov obtenus à partir d'une hypothèse d'autosimilitude.

La théorie basée sur l'hypothèse d'autosimilitude permet de connaître la pression pariétale en fonction de l'énergie linéique ${\displaystyle E}$ de la source. En géométrie cylindrique^[3],[4]

${\displaystyle p=k\,{\frac {(\rho _{\infty }E)^{\frac {1}{2}}}{t}}\,,\quad k={\frac {\gamma ^{2(\gamma -1)/(2-\gamma )}}{2^{(4-\gamma )/(2-\gamma )}}}}$

Cette énergie est égale au travail de la force appliquée sur l'objet : sa traînée ${\displaystyle F}$ qui vaut par définition

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\rho _{\infty }\pi r^{2}C_{x}V_{\infty }^{2}}$

où ${\displaystyle C_{x}}$ est le coefficient de traînée.

L'analogie hypersonique permet d'écrire  ${\displaystyle t={\frac {x}{V_{\infty }}}}$. En utilisant l'expression de la vitesse du son  ${\displaystyle a_{\infty }={\sqrt {\gamma p/\rho }}}$  et la définition du nombre de Mach ${\displaystyle Ma_{\infty }={\frac {V_{\infty }}{a_{\infty }}}}$ on en déduit le profil de pression

${\displaystyle {\frac {p}{p_{\infty }}}=k\,\gamma \,Ma_{\infty }^{2}C_{x}^{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2r}}\right)^{-1}}$

Cette expression donne des résultats honorables même lorsqu'on l'utilise hors du champ des hypothèses, par exemple sur la partie postérieure d'un corps émoussé^[2],[3]. Cette expression ne donne pas un profil de pression ab initio puisqu'elle suppose la donnée du coefficient de traînée. On obtient de la même façon la position du choc à partir de sa position pour une détonation

${\displaystyle r_{c}=\left({\frac {E}{\rho _{\infty }}}\right)^{\frac {1}{4}}t^{\frac {1}{2}}}$

ce qui conduit à un profil donné par

${\displaystyle {\frac {r_{c}(x)}{r(x)}}=(\pi C_{x})^{\frac {1}{4}}\left({\frac {x}{2r(x)}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Cette méthode a également servi dans l'étude des phénomènes d'oscillations des ailes d'avion en supersonique^[5].

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