Σ-algèbre cylindrique

Soit ${\displaystyle X}$ un espace vectoriel réel et ${\displaystyle X^{*}}$ son dual algébrique. Soit en outre ${\displaystyle F\subseteq X^{*}}$ un espace vectoriel de formes linéaires sur ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ la tribu borélienne sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

On appelle ensemble de la forme

${\displaystyle Z_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X:(f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x))\in B\}}$

pour ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in F}$ et ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ un ensemble cylindrique ${\displaystyle F}$. On appelle ${\displaystyle B}$ la base du cylindre et ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ ses générateurs.

La famille de tous les ensembles cylindriques ${\displaystyle F}$ est notée ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F)}$, c’est-à-dire

${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F)=\bigotimes _{n}{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }\bigcup _{f_{1},\dots ,f_{n},B}Z_{f_{1},\dots ,f_{n},B},}$

où ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$ sont des σ-algèbres^[1],[2].

En général, il s’agit seulement d’une algèbre d’ensembles et on l’appelle algèbre cylindrique. La plus petite σ-algèbre contenant ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F)}$ est

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,F):=\sigma (F)=\sigma ({\mathcal {Zyl}}(X,F))}$

et est appelée σ-algèbre cylindrique ou ${\displaystyle F}$-σ-algèbre cylindrique. De plus, on a^[3]

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}(X).}$

Si l’on écrit seulement ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$, on désigne en général la σ-algèbre de tous les ensembles cylindriques de ${\displaystyle X}$.

Les ensembles cylindriques dépendent d’un nombre fini de formes linéaires :

${\displaystyle Z_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X:(f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x))\in B\}.}$

Le cas le plus important est celui où ${\displaystyle X}$ est un espace localement convexe et où ${\displaystyle X'}$ est le dual topologique. La σ-algèbre cylindrique ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ est alors la plus petite σ-algèbre telle que toutes les formes linéaires continues soient mesurables^[3].

Autrement dit, la σ-algèbre est engendrée par les ensembles de la forme

${\displaystyle \{x\in X:f(x)<c\}}$

avec ${\displaystyle f\in X'}$ et ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$.

En général on a

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X),}$

où ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ est la tribu de Baire.

Si par exemple ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{T}}$ et ${\displaystyle T}$ est non dénombrable, alors ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,F)\subsetneq {\mathcal {B}}(X)}$^[4].

Pour le dual topologique on a

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X',X)\subseteq {\mathcal {E}}(X',X'')\subseteq {\mathcal {B}}(X').}$

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux espaces localement convexes. Alors, en général, pour des espaces non séparables et la tribu borélienne, on a ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\otimes {\mathcal {B}}(Y)\subset {\mathcal {B}}(X\times Y)}$, ce qui peut entraîner que l’addition vectorielle n’est pas mesurable. Pour la σ-algèbre cylindrique, ce problème n’apparaît pas, car

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\otimes {\mathcal {E}}(Y,Y')={\mathcal {E}}(X\times Y,X'\times Y').}$

Un espace de Lindelöf ${\displaystyle X}$ est dit héréditaire si tout sous-espace ouvert est aussi un espace de Lindelöf. Si ${\displaystyle X}$ est un espace localement convexe, hausdorff et héréditaire de Lindelöf, alors

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).}$^[5]

Si ${\displaystyle X}$ est un espace de Fréchet séparable (en particulier tout espace de Banach séparable) et ${\displaystyle \Gamma \subseteq X'}$ une famille séparant les points, alors

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,\Gamma )={\mathcal {B}}(X).}$

En particulier, par le théorème de Hahn-Banach, pour un espace de Fréchet séparable :

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).}$^[6],[4]

Si ${\displaystyle X}$ est un espace polonais et ${\displaystyle \Gamma \subseteq X'}$ sépare les points, alors

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).}$^[7],[8]

Preuve

Si ${\displaystyle \Gamma }$ est dénombrable : soit ${\displaystyle (U_{n}){n\in \mathbb {N} }}$ une base dénombrable d’ouverts de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Pour chaque ${\displaystyle f\in \Gamma }$ et ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, on définit

${\displaystyle B{f,n}=f^{-1}(U_{n})}$.

Ces ensembles appartiennent à ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,\Gamma )}$. Comme ils séparent les points de ${\displaystyle X}$, ils engendrent aussi ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$.

 

On a

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,C_{b}(X,\mathbb {R} )),}$

où ${\displaystyle C_{b}(X,\mathbb {R} )}$ est l’espace des fonctions continues et bornées^[9].

• Wladimir I. Bogatschow, Measure Theory, vol. 2, Physica-Verlag, 2007
• N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan, Probability Distributions on Banach Spaces, Dordrecht, Springer, 1987