Théorie de la mesure dans les espaces vectoriels topologiques

Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espace vectoriel topologique, ${\displaystyle X^{*}}$ l'espace dual algébrique et ${\displaystyle X'}$ l'espace dual topologique. Dans les espaces vectoriels topologiques, il existe trois σ-algèbres importantes :

• la tribu borélienne ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ : générée par les ensembles ouverts de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.
• la tribu cylindrique ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ : générée par l'espace dual ${\displaystyle X'}$.
• la tribue de Baire ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ : générée par toutes les fonctions continues ${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )}$. La σ-algèbre de Baire est également notée ${\displaystyle {\mathcal {Ba}}(X)}$.

La relation suivante est vérifiée :

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\subseteq {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X)}$

où ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\subseteq {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ est évident.

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux espaces vectoriels en dualité, cela signifie qu’il existe une forme bilinéaire ${\displaystyle \langle .,.\rangle \colon X\times Y\to \mathbb {R} }$. Un ensemble de la forme

${\displaystyle C_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X\colon (\langle x,f_{1}\rangle ,\dots ,\langle x,f_{n}\rangle )\in B\}}$

pour ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ et ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in Y}$ est appelé ensemble cylindrique et si ${\displaystyle B}$ est ouvert, alors c'est un ensemble cylindrique ouvert. L'ensemble de tous les cylindres est ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$ et l'ensemble de tous les cylindres ouverts est ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O}}$. Si l'on prend le produit ${\displaystyle \otimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$, cela ne produit qu'une algèbre. La σ-algèbre

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)=\sigma \left({\mathcal {Zyl}}(X,Y)\right)=\sigma \left(\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}\right)=\sigma \left(\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }\bigcup \limits _{f_{1},\dots ,f_{n}\in Y,B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}C_{f_{1},\dots ,f_{n},B}\right)}$

est appelée σ-algèbre cylindrique^[2]. Les ensembles cylindriques et les cylindres ouverts génèrent la même σ-algèbre cylindrique, c'est-à-dire ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}})=\sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O})}$.

Pour la topologie faible ${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$, la σ-algèbre cylindrique ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ est la σ-algèbre de Baire de ${\displaystyle (X,T_{s})}$^[3].

On utilise la σ-algèbre cylindrique car la σ-algèbre borélienne peut poser des problèmes de mesurabilité dans les espaces de dimension infinie. Nous avons vu que la σ-algèbre cylindrique ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ est engendrée par les cylindres ouverts. La σ-algèbre cylindrique contient toutes les réunions dénombrables de cylindres ouverts, tandis que la σ-algèbre borélienne est la σ-algèbre ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {T}})}$ engendrée directement par la topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, et elle contient donc des réunions arbitraires (éventuellement non dénombrables) d’ensembles ouverts. Il faut ainsi, dans le cas de la σ-algèbre borélienne, également gérer des unions non dénombrables de cylindres ouverts.

En lien avec les intégrales de fonctions continues, il est difficile voire impossible de les étendre à des ensembles boréliens arbitraires^[4]. Pour les espaces non séparables, il peut arriver que l'addition vectorielle ne soit plus mesurable par rapport à l'algèbre produit des σ-algèbres boréliennes car en général ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\otimes {\mathcal {B}}(Y)\subset {\mathcal {B}}(X\times Y)}$, tandis que pour la σ-algèbre cylindrique on a ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\otimes {\mathcal {E}}(Y,Y')={\mathcal {E}}(X\times Y,X'\times Y')}$^[5]. Pour deux variables aléatoires ${\displaystyle X_{1}}$ et ${\displaystyle X_{2}}$, cela signifie donc que la somme ${\displaystyle S=X_{1}+X_{2}}$ n’est plus nécessairement une variable aléatoire mesurable.

La σ-algèbre de Baire ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ est la plus petite σ-algèbre rendant toutes les formes linéaires continues ${\displaystyle f\in X'}$ mesurables. Les éléments de la σ-algèbre de Baire sont appelés ensembles de Baire et ne doivent pas être confondus avec les ensembles possédant la propriété de Baire.

La σ-algèbre de Baire est également engendrée par les ensembles de zéros ; en effet,

${\displaystyle \{x:f(x)\leq a\}=\{x:g(x):=\max(0,f(x)-a)=0\},}$

puisque ${\displaystyle f(x)}$ et ${\displaystyle \max(0,\cdot )}$ sont continues.

Quelques propriétés de la σ-algèbre de Baire :

• Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux espaces topologiques munis de leurs σ-algèbres de Baire ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(Y)}$. Si ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ est continue, alors ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{0}(X),{\mathcal {B}}_{0}(Y))}$-mesurable^[6].
• Soit ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ une famille d’espaces topologiques et ${\displaystyle X=\prod \limits _{i\in I}X_{i}}$ leur espace produit. Alors ${\displaystyle \mathrm {B} _{0}(X)\supseteq \bigvee \limits _{i\in I}\mathrm {B} _{0}(X_{i})}$. Si de plus les ${\displaystyle X_{i}}$ sont séparables et métrisables, on a ${\displaystyle \mathrm {B} _{0}(X)=\bigvee \limits _{i\in I}\mathrm {B} _{0}(X_{i})}$^[6].

• Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espace vectoriel topologique et ${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$ la topologie faible, alors ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ est exactement la σ-algèbre de Baire de ${\displaystyle (X,T_{s})}$^[3].
• Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espace localement convexe séparé et métrisable et ${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$ la topologie faible. Alors ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ sont équivalentes sous ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ et ${\displaystyle T_{s}}$^[3].

Une façon de construire une mesure sur un espace de dimension infinie consiste à définir d’abord la mesure sur des espaces de dimension finie, puis à l’étendre aux espaces de dimension infinie comme un système projectif. Cela conduit à la notion de mesure cylindrique, qui, selon Israel Moiseevich Gelfand et Naum Yakovlevich Vilenkin, trouve son origine chez Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov ^[7].

Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espace vectoriel topologique sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle X^{*}}$ son espace dual algébrique. De plus, soit ${\displaystyle F}$ un espace vectoriel de fonctionnelles linéaires sur ${\displaystyle X}$, c’est-à-dire ${\displaystyle F\subseteq X^{*}}$.

Une fonction définie sur les ensembles

${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {Zyl}}(X,F)\to \mathbb {R} _{+}}

est appelée mesure cylindrique si, pour tout sous-ensemble fini ${\displaystyle G:=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}\subseteq F}$ avec ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, la restriction

${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {E}}(X,G)\to \mathbb {R} _{+}}

est σ-additive, c’est-à-dire que ${\displaystyle \nu }$ est une mesure^[2].

Soit ${\displaystyle \Gamma \subset X^{*}}$. Une mesure cylindrique ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle X}$ est dite d’ordre faible ${\displaystyle p}$ (ou de type faible ${\displaystyle p}$) si le ${\displaystyle p}$-ième moment existe, c’est-à-dire :

${\displaystyle \int _{E}|\langle f,x\rangle |^{p},d\mu (f)<\infty }$

pour tout ${\displaystyle f\in \Gamma }$^[8].

Toute Mesure de Radon induit une mesure cylindrique, mais la réciproque n’est pas vraie^[9].

Soient ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle G}$ deux espaces localement convexes. Un opérateur ${\displaystyle T:E\to G}$ est appelé opérateur ${\displaystyle (q,p)}$-radonifiant si, pour une mesure cylindrique ${\displaystyle \mu }$ d’ordre ${\displaystyle q}$ sur ${\displaystyle E}$, l’image ${\displaystyle T_{*}\mu }$ est une mesure de Radon d’ordre ${\displaystyle p}$ sur ${\displaystyle G}$^{[10],[11],[12]}.

Soit ${\displaystyle \mu }$ une mesure d’ordre faible ${\displaystyle 1}$ sur l’espace vectoriel topologique ${\displaystyle X}$. Alors l’espérance ${\displaystyle m_{\mu }\in X}$ existe si, pour tout fonctionnel continu ${\displaystyle f\in X'}$, on a

${\displaystyle f(m_{\mu })=\int _{X}f(x)\mu (\mathrm {d} x)}$.

Supposons maintenant que ${\displaystyle \mu }$ soit d’ordre faible ${\displaystyle 2}$. Alors l’opérateur de covariance ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }:X'\to (X')^{*}}$ de ${\displaystyle \mu }$ est défini par

${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{X}{\big (}\varphi (x)-\varphi (m_{\mu }){\big )}{\big (}\xi (x)-\xi (m_{\mu }){\big )}\mu (\mathrm {d} x)}$

pour ${\displaystyle \varphi ,\xi \in X'}$^[13],[14]. Autrement dit, ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )}$ est un élément du espace bidual, c’est-à-dire un fonctionnel sur ${\displaystyle X'}$, et l’on a

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }(g),f\rangle =\langle g,\operatorname {C} _{\mu }(f)\rangle =\operatorname {C} _{\mu }(f)(g).}$

Il existe de nombreux résultats sur les conditions permettant d’étendre une mesure cylindrique à une mesure de Radon, comme le Minlos theorem^[15] et le Sazonov theorem^[16].

Soit ${\displaystyle A}$ un sous-ensemble équilibré, convexe, borné et fermé d’un espace localement convexe ${\displaystyle E}$, alors ${\displaystyle E_{A}}$ désigne le sous-espace de ${\displaystyle E}$ généré par ${\displaystyle A}$. Un sous-ensemble équilibré, convexe et borné ${\displaystyle A}$ d’un espace séparé localement convexe ${\displaystyle E}$ est appelé «ensemble de Hilbert» si l’espace de Banach ${\displaystyle E_{A}}$ possède une structure d’espace de Hilbert, c’est-à-dire que la norme ${\displaystyle |\cdot |_{E_{A}}}$ peut être déduite d’un produit scalaire et ${\displaystyle E_{A}}$ est complet^[17].

Soit ${\displaystyle E}$ un espace localement convexe séparé quasi-complet et ${\displaystyle E'_{c}}$ son dual muni de la topologie de convergence uniforme sur les parties compactes de ${\displaystyle E}$. On suppose que chaque sous-ensemble de ${\displaystyle E}$ est contenu dans un ensemble de Hilbert compact, convexe et équilibré. Une fonction de type positif ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle E'_{c}}$ est la Transformation de Fourier d’une mesure de Radon sur ${\displaystyle E}$ si et seulement si la fonction est continue pour la topologie de Hilbert-Schmidt associée à la topologie de ${\displaystyle E'_{c}}$^[18].

Une variante du théorème est le Minlos–Sazonov theorem, qui stipule qu’une mesure cylindrique est σ-additive et de Radon si sa transformation de Fourier est continue en zéro dans la topologie de Sazonov.

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