5項補題
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ステートメント
任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）や群の圏において以下の可換図式を考える。
5項補題は次のものである。図式における2つの行が完全であり、各垂直な射について、m と p が同型、l がエピ射、q がモノ射であれば、中央の n も同型である。
ここで、上段の水平な射を f, g, h, i、下段の水平な射を f', g', h', i' と表記する。
2つの4項補題は以下のものである。
(1) 可換図式
の行が完全で m と p がエピ射で q がモノ射ならば、n はエピ射である。
(2) 可換図式
の行が完全で m と p がモノ射で l がエピ射ならば、 n はモノ射である。
証明
これから行う証明で使われる手法は一般に図式追跡 (diagram chasing) と呼ばれる[1]。2つの4項補題を別々に証明することによって5項補題を証明する。
図式追跡（diagram chasing）を行うため、ミッチェルの埋め込み定理を用いる。この定理により、任意の（小さい）アーベル圏は、ある環上の加群の圏として表現可能であるため、図式内の対象の「元」を取り出し、射をその元に作用する準同型写像として扱うことができる。 加群の圏において、射がモノ射であることは単射であることと同値であり、エピ射であることは全射であることと同値である。同様に、完全性は写像の核と像を用いて議論できる。なお、群の圏に対しても同様の議論が可能であるが、以下の証明で用いる加法的な表記（+）を乗法的な表記（積）に置き換える必要がある。ここでは対象となる群が必ずしも可換（アーベル群）である必要はない。
さて、(1) を証明するために、m と p が全射で q が単射であると仮定する。
- c′ を C′ の元とする。
- p は全射なので、ある元 d ∈ D が存在して、p(d) = t(c′).
- 図式の可換性より、u(p(d)) = q(j(d)).
- 完全性より im t = ker u なので、0 = u(t(c′)) = u(p(d)) = q(j(d)).
- q は単射なので、j(d) = 0 であり、d は ker j = im h の元である。
- したがってある c ∈ C が存在して h(c) = d.
- すると t(n(c)) = p(h(c)) = t(c′) である。t は準同型なので、t(c′ − n(c)) = 0 である。
- 完全性より、c′ − n(c) は s の像に入っているので、ある b′ ∈ B′ が存在して、s(b′) = c′ − n(c).
- m は全射なので、ある b ∈ B が存在して、b′ = m(b).
- 可換性により、n(g(b)) = s(m(b)) = c' − n(c).
- n は準同型なので、n(g(b) + c) = n(g(b)) + n(c) = c′ − n(c) + n(c) = c′.
- したがって、n は全射である。
次に、(2) を証明するために、m と p が単射で l が全射と仮定する。
- c ∈ C を n(c) = 0 であるような元とする。
- すると t(n(c)) は 0 である。
- 可換性より、p(h(c)) = 0.
- p は単射なので、h(c) = 0.
- 完全性により、ある b ∈ B が存在して、g(b) = c.
- 可換性により、s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0.
- すると完全性により、ある元 a′ ∈ A′ が存在して、r(a′) = m(b).
- l は全射なので、a ∈ A が存在して、l(a) = a′.
- 可換性より、m(f(a)) = r(l(a)) = m(b).
- m は単射なので、f(a) = b.
- よって c = g(f(a)).
- g と f の合成は自明なので、c = 0.
- したがって n は単射である。
今2つの4項補題を合わせることで5項補題全体が証明される。