7の平方根

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数百年もの間、様々な方法によって十進分数（英語版）(分母が10の累乗で表される分数による有理数)による平方根の近似を行う導出方法によって、7の平方根は教科書の例や練習問題として用いられてきた。1773年^[4]と1852年^[5]には5桁、1835年^[6]には3桁、1808年^[7]には6桁、1797年^[8]には7桁という精度で計算されていた。また、ニュートン法による近似値の計算方法が1922年に試され、7の平方根は2.646に1000分の1の単位の小数で最も近いという計算結果となった。

7の平方根は次の連分数によって表される:

${\displaystyle [2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}}}}}}.}$ オンライン整数列大辞典の数列 A010121

7の平方根の連分数展開を用いた近似値(連分数近似（英語版）)は次のような値をとって${\displaystyle {\sqrt {7}}}$に近づく:

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {8}{3}},{\frac {37}{14}},{\frac {45}{17}},{\frac {82}{31}},{\frac {127}{48}},{\frac {590}{223}},{\frac {717}{271}},\dots }$

この連分数の分子は順に 2, 3, 5, 8, 37, 45, 82, 127, 590, 717, 1307, 2024, 9403, 11427, 20830, 32257,...(オンライン整数列大辞典の数列 A041008)と続き、

分母は1, 1, 2, 3, 14, 17, 31, 48, 223, 271, 494, 765, 3554, 4319, 7873, 12192,...(オンライン整数列大辞典の数列 A041009)と続く。 この連分数は最良有理近似であり、分母が各分数の分母未満のどの有理数より${\displaystyle {\sqrt {7}}}$に近い。この連分数を小数で表した数は次のように${\displaystyle {\sqrt {7}}}$におおむね一定の有効数字桁の増加(1桁/1段階未満)をもって収束する:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {3}{1}}=3.0,\quad {\frac {5}{2}}=2.5,\quad {\frac {8}{3}}=2.66\dots ,\quad {\frac {37}{14}}=2.6429...,\quad {\frac {45}{17}}=2.64705...,\quad {\frac {82}{31}}=2.64516...,\quad {\frac {127}{48}}=2.645833...,\quad \ldots }$

8/3から4個ごとに分数をとってx/yとおくと、これらはペル方程式:

${\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}$

を満たす^[9]。

When ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ is approximated with the Babylonian method, starting with x₁ = 3 and using x_n+1 = 1/2(x_n + 7/x_n), the nth approximant x_n is equal to the 2ⁿth convergent of the continued fraction:

${\displaystyle x_{1}=3,\quad x_{2}={\frac {8}{3}}=2.66...,\quad x_{3}={\frac {127}{48}}=2.6458...,\quad x_{4}={\frac {32257}{12192}}=2.645751312...,\quad x_{5}={\frac {2081028097}{786554688}}=2.645751311064591...,\quad \dots }$

All but the first of these satisfy the Pell's equation above.

The Babylonian method is equivalent to Newton's method for root finding applied to the polynomial ${\displaystyle x^{2}-7}$. The Newton's method update, ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),}$ is equal to ${\displaystyle (x_{n}+7/x_{n})/2}$ when ${\displaystyle f(x)=x^{2}-7}$. The method therefore converges quadratically (number of accurate decimal digits proportional to the square of the number of Newton or Babylonian steps).

平面幾何学において、${\displaystyle {\sqrt {7}}\,}$は一連の動的な長方形により、すなわち上図の長方形の最大の対角線として表される^[10][11][12]。

辺の長さが2の正三角形に外接する最小の長方形は長さ${\displaystyle {\sqrt {7}}\,}$の対角線を持つ^[13]。

現行のアメリカ合衆国1ドル紙幣の裏にある大きな内箱は長さと幅の比が${\displaystyle {\sqrt {7}}\,}$で、対角線の長さが6.0インチである（測定精度の範囲内で）^[14]。

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