FK理論

一定の温度が維持されている空間${\displaystyle T_{o}}$を仮定した場合, 均質な反応混合物を含有する。 容器の特徴的な大きさを${\displaystyle a}$とする。 混合物は均質であるので、密度${\displaystyle \rho }$ は一定である。 発火初期の間、反応物の濃度は無視できる（下記の${\displaystyle {\text{fuel}}+{\text{oxidizer}}\rightarrow {\text{products}}+q}$を参照）、したがって爆発はアレニウスの式のみによって支配される。

${\displaystyle \rho c_{v}{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda \nabla ^{2}T+q\rho BY_{Fo}e^{-E/(RT)}}$

• ${\displaystyle T}$混合物の温度
• ${\displaystyle c_{v}}$ 一定の熱容量
• ${\displaystyle \lambda }$ 熱伝導率
• ${\displaystyle B}$ 時間の経過と共に1の次元を有する頻度因子
• ${\displaystyle Y_{Fo}}$ 初期燃料の質量分率
• ${\displaystyle E}$ 活性化エネルギー
• ${\displaystyle R}$ 気体定数

無次元活性化エネルギー${\displaystyle \beta }$と放熱パラメータ${\displaystyle \gamma }$は次のように示される。

${\displaystyle \beta ={\frac {E}{RT_{o}}},\quad \gamma ={\frac {qY_{Fo}}{c_{v}T_{o}}}}$

容器を伝わる特徴的な熱伝導時間は${\displaystyle t_{c}=\rho c_{v}a^{2}/\lambda }$で表され、特徴的な燃焼時間は ${\displaystyle t_{f}=\left(Be^{-\beta }\right)^{-1}}$で表され、特徴的な爆発/着火時間は${\displaystyle t_{e}=\left(\beta \gamma Be^{-\beta }\right)^{-1}}$で表される。 典型的な燃焼プロセスにおいて${\displaystyle \gamma \sim 6{-}8,\ \beta \sim 30{-}100}$は${\displaystyle \beta \gamma \gg 1}$、したがって ${\displaystyle t_{f}=\beta \gamma t_{e}\gg 1}$, i.e.であることに注意すべきであり、本質的に無視できる程度であり、燃料濃度が初期燃料濃度と同じであると仮定される理由である${\displaystyle Y_{Fo}}$無次元のスケールは以下の式で表される。

${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{e}}},\quad \theta ={\frac {\beta (T-T_{o})}{T_{o}}},\quad \eta ^{j}={\frac {r^{j}}{a}},\quad \delta ={\frac {t_{c}}{t_{e}}}}$

ここで${\displaystyle \delta }$はダムケラー数${\displaystyle r}$と平面スラブの中心${\displaystyle j=0}$を原点とする空間座標を表す, 球形の容器では${\displaystyle j=1}$となり 円筒形の容器では${\displaystyle j=2}$となる。このスケールで方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta /(1+\theta /\beta )}}$

Since ${\displaystyle \beta \gg 1}$,指数項を線形化すると${\displaystyle e^{\theta /(1+\theta /\beta )}\approx e^{\theta }}$となる。

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta }}$

1. ↑ Frank-Kamenetskii, David Albertovich. Diffusion and heat exchange in chemical kinetics. Princeton University Press, 2015.
2. ↑ Linan, Amable, and Forman Arthur Williams. "Fundamental aspects of combustion." (1993).
3. ↑ Williams, Forman A. "Combustion theory." (1985).
4. ↑ Buckmaster, John David, and Geoffrey Stuart Stephen Ludford. Theory of laminar flames. Cambridge University Press, 1982.
5. ↑ Buckmaster, John D., ed. The mathematics of combustion. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1985.