Ndゲーム

${\displaystyle n^{d}}$ゲームとは、三目並べ（○×ゲーム、ティクタクトー）を一般化したゲームの総称である^[1][2][3]。${\displaystyle d}$次元空間における一辺が${\displaystyle n}$マス（盤面が${\displaystyle n^{d}}$マス）の超立方体の盤面で、2人のプレイヤーでプレイする^[1][2][4][5]。プレイヤーが交互に自分の石（○または×）をマス目に置き、先に自分の石をいずれかの方向に${\displaystyle n}$個並べた方が勝ちとなる。ただし、どちらかが勝ちとなる前に${\displaystyle n^{d}}$個の全てのマス目が埋まった場合は引き分けとなる^[4]。

一般の三目並べは${\displaystyle n=3,\ d=2}$であり、これを${\displaystyle (3,\,2)}$ゲームと表す^[4]。重力なし立体四目並べ（英語版）は${\displaystyle (4,\,3)}$ゲームとなる^[4]。

${\displaystyle (n,\,0)}$ゲームや${\displaystyle (1,\,d)}$ゲームは、盤面が${\displaystyle n^{0}=1^{d}=1}$マスしかないため、先手必勝となることは自明である。${\displaystyle (n>1,\,1)}$ゲームで勝つには、${\displaystyle n^{1}=n}$マスの盤上に自分の石を${\displaystyle n}$個並べねばならぬが、後手が石を置けば不可能となり常に引き分ける（${\displaystyle (1,\,1)}$ゲームは後手が着手せず決着する）^[5]。

${\displaystyle n^{d}}$ゲームにおいて、勝利条件である${\displaystyle d}$個の石の並びは${\displaystyle {\frac {(n+2)^{d}-n^{d}}{2}}}$本存在する^[2][6]。